三角関数例

$2 \tan (x) = 1 - \tan^{2} (x)$

ステップ 1

$u$ を $\tan (x)$ に代入します。

$2 (u) = 1 - {(u)}^{2}$

ステップ 2

方程式の両辺に $u^{2}$ を足します。

$2 u + u^{2} = 1$

ステップ 3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 u + u^{2} - 1 = 0$

ステップ 4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 5

$a = 1$ 、 $b = 2$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 6.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 6.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$u = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2

$2$ に $1$ をかけます。

$u = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 6.3

$\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$u = - 1 \pm \sqrt{2}$

ステップ 7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 8

$\tan (x)$ を $u$ に代入します。

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 9

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$

ステップ 10

$\tan (x) = - 1 + \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 10.1

式の右辺を10進数に変換します。

$\tan (x) = 0.41421356$

ステップ 10.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0.41421356)$

ステップ 10.3

右辺を簡約します。

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ステップ 10.3.1

$\arctan (0.41421356)$ の値を求めます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 10.4

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{8}$

ステップ 10.5

$π + \frac{π}{8}$ を簡約します。

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ステップ 10.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{π}{8}$

ステップ 10.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 10.5.2.1

$π$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{π}{8}$

ステップ 10.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 8 + π}{8}$

ステップ 10.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 10.5.3.1

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{8 \cdot π + π}{8}$

ステップ 10.5.3.2

$8 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{9 π}{8}$

ステップ 10.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 10.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 10.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 10.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 10.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 10.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

$\tan (x) = - 1 - \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 11.1

式の右辺を10進数に変換します。

$\tan (x) = - 2.41421356$

ステップ 11.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 2.41421356)$

ステップ 11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 11.3.1

$\arctan (- 2.41421356)$ の値を求めます。

$x = - \frac{3 π}{8}$

ステップ 11.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{3 π}{8} - π$

ステップ 11.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 11.5.1

$2 π$ に $- \frac{3 π}{8} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{3 π}{8} - π + 2 π$

ステップ 11.5.2

$\frac{5 π}{8}$ の結果の角度は正で $- \frac{3 π}{8} - π$ と隣接します。

$x = \frac{5 π}{8}$

ステップ 11.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 11.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 11.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 11.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 11.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 11.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 11.7.1

$π$ を $- \frac{3 π}{8}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{3 π}{8} + π$

ステップ 11.7.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{3 π}{8}$

ステップ 11.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 11.7.3.1

$π$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{3 π}{8}$

ステップ 11.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 8 - 3 π}{8}$

ステップ 11.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 11.7.4.1

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot π - 3 π}{8}$

ステップ 11.7.4.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{5 π}{8}$

ステップ 11.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{8}$

ステップ 11.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{9 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例