三角関数例

$2 \sin (\frac{x}{4}) + \sqrt{3} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$2 \sin (\frac{x}{4}) = - \sqrt{3}$

ステップ 2

$2 \sin (\frac{x}{4}) = - \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \sin (\frac{x}{4}) = - \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (\frac{x}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (\frac{x}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\sin (\frac{x}{4})$ を $1$ で割ります。

$\sin (\frac{x}{4}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (\frac{x}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{4} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$\frac{x}{4} = - \frac{π}{3}$

ステップ 5

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{x}{4} = 4 (- \frac{π}{3})$

ステップ 6

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 6.1

左辺を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{x}{4} = 4 (- \frac{π}{3})$

ステップ 6.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 4 (- \frac{π}{3})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$4 (- \frac{π}{3})$ を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4 (- \frac{π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 6.2.1.1.1

$- 1$ に $4$ をかけます。

$x = - 4 \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.1.1.2

$- 4$ と $\frac{π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{- 4 π}{3}$

ステップ 6.2.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4 π}{3}$

ステップ 7

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$\frac{x}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

ステップ 8

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 8.1

$2 π + \frac{π}{3} + π$ から $2 π$ を引きます。

$\frac{x}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

ステップ 8.2

$\frac{4 π}{3}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{3} + π$ と隣接します。

$\frac{x}{4} = \frac{4 π}{3}$

ステップ 8.3

$x$ について解きます。

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ステップ 8.3.1

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{4 π}{3}$

ステップ 8.3.2

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.3.2.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{x}{4} = 4 \frac{4 π}{3}$

ステップ 8.3.2.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 4 \frac{4 π}{3}$

ステップ 8.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.3.2.2.1

$4 \frac{4 π}{3}$ を掛けます。

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ステップ 8.3.2.2.1.1

$4$ と $\frac{4 π}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{4 (4 π)}{3}$

ステップ 8.3.2.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{16 π}{3}$

ステップ 9

$\sin (\frac{x}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{4}$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{4} |}$

ステップ 9.3

$\frac{1}{4}$ は約 $0.25$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{2 π}{\frac{1}{4}}$

ステップ 9.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$2 π \cdot 4$

ステップ 9.5

$4$ に $2$ をかけます。

$8 π$

ステップ 10

$8 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 10.1

$8 π$ を $- \frac{4 π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{4 π}{3} + 8 π$

ステップ 10.2

$8 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$8 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{4 π}{3}$

ステップ 10.3

分数をまとめます。

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ステップ 10.3.1

$8 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{8 π \cdot 3}{3} - \frac{4 π}{3}$

ステップ 10.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{8 π \cdot 3 - 4 π}{3}$

ステップ 10.4

分子を簡約します。

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ステップ 10.4.1

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{24 π - 4 π}{3}$

ステップ 10.4.2

$24 π$ から $4 π$ を引きます。

$\frac{20 π}{3}$

ステップ 10.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{20 π}{3}$

ステップ 11

$\sin (\frac{x}{4})$ 関数の周期が $8 π$ なので、両方向で $8 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{16 π}{3} + 8 π n, \frac{20 π}{3} + 8 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例