三角関数例

$2 \cos (3 x) + \sqrt{3} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sqrt{3}$ を引きます。

$2 \cos (3 x) = - \sqrt{3}$

ステップ 2

$2 \cos (3 x) = - \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$2 \cos (3 x) = - \sqrt{3}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (3 x)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.2.1.2

$\cos (3 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (3 x) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (3 x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{5 π}{6}$ です。

$3 x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 5

$3 x = \frac{5 π}{6}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$3 x = \frac{5 π}{6}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 π}{6}}{3}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.2

$\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.2.1

$\frac{5 π}{6}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 3}$

ステップ 5.3.2.2

$6$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{18}$

ステップ 6

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$3 x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

ステップ 7

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

簡約します。

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ステップ 7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$3 x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.1.2

$2 π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$3 x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

ステップ 7.1.4

$6$ に $2$ をかけます。

$3 x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

ステップ 7.1.5

$12 π$ から $5 π$ を引きます。

$3 x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 7.2

$3 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1

$3 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 7.2.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

ステップ 7.2.3.2.2

$6$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{18}$

ステップ 8

$\cos (3 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 9

$\cos (3 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例