三角関数例

$2 \cos (x) = \sec (x)$

ステップ 1

$2 \cos (x) = \sec (x)$ の各項を $2 \cos (x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$2 \cos (x) = \sec (x)$ の各項を $2 \cos (x)$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2 \cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 1.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 1.2.2.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{\sec (x)}{2 \cos (x)}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

分数を分解します。

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sec (x)}{\cos (x)}$

ステップ 1.3.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$

ステップ 1.3.3

$\frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ を積として書き換えます。

$1 = \frac{1}{2} (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)})$

ステップ 1.3.4

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\cos (x)}$ をかけます。

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos (x) \cos (x)}$

ステップ 1.3.5

分母を簡約します。

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ステップ 1.3.5.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos (x)}$

ステップ 1.3.5.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}$

ステップ 1.3.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\cos (x)}^{1 + 1}}$

ステップ 1.3.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.6

分数をまとめます。

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ステップ 1.3.6.1

まとめる。

$1 = \frac{1 \cdot 1}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.6.2

$1$ に $1$ をかけます。

$1 = \frac{1}{2 \cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.7

$1$ を掛けます。

$1 = \frac{1}{2 (\cos^{2} (x) \cdot 1)}$

ステップ 1.3.8

分数を分解します。

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1.3.9

$\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ を $\sec^{2} (x)$ に変換します。

$1 = \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (x)$

ステップ 1.3.10

$2$ に $1$ をかけます。

$1 = \frac{1}{2} \sec^{2} (x)$

ステップ 1.3.11

$\frac{1}{2}$ と $\sec^{2} (x)$ をまとめます。

$1 = \frac{\sec^{2} (x)}{2}$

ステップ 2

方程式を $\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$ として書き換えます。

$\frac{\sec^{2} (x)}{2} = 1$

ステップ 3

方程式の両辺に $2$ を掛けます。

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

ステップ 4

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{\sec^{2} (x)}{2} = 2 \cdot 1$

ステップ 4.1.1.2

式を書き換えます。

$\sec^{2} (x) = 2 \cdot 1$

ステップ 4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\sec^{2} (x) = 2$

ステップ 5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{2}$

ステップ 6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

ステップ 6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

ステップ 6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

ステップ 7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sec (x) = \sqrt{2}$

$\sec (x) = - \sqrt{2}$

ステップ 8

$\sec (x) = \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (\sqrt{2})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$arcsec (\sqrt{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 8.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 8.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 8.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 8.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 8.4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 8.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\sec (x) = - \sqrt{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から $x$ を取り出します。

$x = arcsec (- \sqrt{2})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$arcsec (- \sqrt{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 9.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 9.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 9.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 9.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 9.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 9.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 9.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 9.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9.6

$\sec (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 11

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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