三角関数例

$\csc (2 x) + \sqrt{2} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sqrt{2}$ を引きます。

$\csc (2 x) = - \sqrt{2}$

ステップ 2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$2 x = arccsc (- \sqrt{2})$

ステップ 3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$arccsc (- \sqrt{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$2 x = - \frac{π}{4}$

ステップ 4

$2 x = - \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 x = - \frac{π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2

$- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{4}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 4.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = - \frac{π}{8}$

ステップ 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

ステップ 6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.1

$2 π + \frac{π}{4} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

ステップ 6.2

$\frac{5 π}{4}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{4} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 6.3

$2 x = \frac{5 π}{4}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2 x = \frac{5 π}{4}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{5 π}{4}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 2}$

ステップ 6.3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{5 π}{8}$

ステップ 7

$\csc (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.1

$π$ を $- \frac{π}{8}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{8} + π$

ステップ 8.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

ステップ 8.3

分数をまとめます。

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ステップ 8.3.1

$π$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

ステップ 8.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

ステップ 8.4

分子を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$8$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

ステップ 8.4.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{7 π}{8}$

ステップ 8.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{7 π}{8}$

ステップ 9

$\csc (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例