三角関数例

$\csc (3 x) = \sin (3 x)$

ステップ 1

$\csc (3 x) = \sin (3 x)$ の各項を $\csc (3 x)$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$\csc (3 x) = \sin (3 x)$ の各項を $\csc (3 x)$ で割ります。

$\frac{\csc (3 x)}{\csc (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\csc (3 x)}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$\csc (3 x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{\csc (3 x)}{\csc (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\csc (3 x)}$

ステップ 1.2.1.2

式を書き換えます。

$1 = \frac{\sin (3 x)}{\csc (3 x)}$

ステップ 1.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.1

正弦と余弦に関して $\csc (3 x)$ を書き換えます。

$1 = \frac{\sin (3 x)}{\frac{1}{\sin (3 x)}}$

ステップ 1.3.2

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{\sin (3 x)}$ で割ります。

$1 = \sin (3 x) \sin (3 x)$

ステップ 1.3.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.1

$\sin (3 x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \sin^{1} (3 x) \sin (3 x)$

ステップ 1.3.3.2

$\sin (3 x)$ を $1$ 乗します。

$1 = \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x)$

ステップ 1.3.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$1 = {\sin (3 x)}^{1 + 1}$

ステップ 1.3.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$1 = \sin^{2} (3 x)$

ステップ 2

方程式を $\sin^{2} (3 x) = 1$ として書き換えます。

$\sin^{2} (3 x) = 1$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (3 x) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (3 x) = \pm 1$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (3 x) = 1$

ステップ 5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (3 x) = - 1$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (3 x) = 1, - 1$

ステップ 6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (3 x) = 1$

$\sin (3 x) = - 1$

ステップ 7

$\sin (3 x) = 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arcsin (1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$3 x = \frac{π}{2}$

ステップ 7.3

$3 x = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$3 x = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 7.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 7.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.3.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 7.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$3 x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 7.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.5.1.2

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 7.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 7.5.1.4

$π \cdot 2$ から $π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.4.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$3 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 7.5.1.4.2

$2 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$3 x = \frac{π}{2}$

ステップ 7.5.2

$3 x = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.1

$3 x = \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 7.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 7.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 7.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 7.5.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 7.5.2.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 7.6

$\sin (3 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.6.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 7.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 7.7

$\sin (3 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

$\sin (3 x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arcsin (- 1)$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$3 x = - \frac{π}{2}$

ステップ 8.3

$3 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$3 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

ステップ 8.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

ステップ 8.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

ステップ 8.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 8.3.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.3.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.3.3.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{6}$

ステップ 8.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 8.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 8.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$3 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8.5.3

$3 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.1

$3 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

ステップ 8.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

ステップ 8.5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

ステップ 8.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 8.5.3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.3.3.2.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 8.5.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 8.5.3.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 8.6

$\sin (3 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.6.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 8.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 8.7

$\frac{2 π}{3}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.1

$\frac{2 π}{3}$ を $- \frac{π}{6}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

ステップ 8.7.2

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

ステップ 8.7.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $6$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.3.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

ステップ 8.7.3.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 8.7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

ステップ 8.7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{6}$

ステップ 8.7.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{6}$

ステップ 8.7.6

$3$ と $6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.6.1

$3$ を $3 π$ で因数分解します。

$\frac{3 (π)}{6}$

ステップ 8.7.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.7.6.2.1

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.7.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

ステップ 8.7.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 8.7.7

新しい角をリストします。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 8.8

$\sin (3 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例