三角関数例

$9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$

ステップ 1

$9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.1

$9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = 1$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 \sin^{2} (x - \frac{π}{2})}{9} = \frac{1}{9}$

ステップ 1.2.1.2

$\sin^{2} (x - \frac{π}{2})$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{9}$

ステップ 2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1}{9}}$

ステップ 3

$\pm \sqrt{\frac{1}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt{\frac{1}{9}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$ に書き換えます。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

ステップ 3.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{9}}$

ステップ 3.3

分母を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{\sqrt{3^{2}}}$

ステップ 3.3.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \pm \frac{1}{3}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}, - \frac{1}{3}$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$

ステップ 6

$\sin (x - \frac{π}{2}) = \frac{1}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (\frac{1}{3})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\arcsin (\frac{1}{3})$ の値を求めます。

$x - \frac{π}{2} = 0.3398369$

ステップ 6.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$x = 0.3398369 + \frac{π}{2}$

ステップ 6.3.2

$0.3398369$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$x = 1.91063323$

ステップ 6.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x - \frac{π}{2} = (3.14159265) - 0.3398369$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

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ステップ 6.5.1

$3.14159265$ から $0.3398369$ を引きます。

$x - \frac{π}{2} = 2.80175574$

ステップ 6.5.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.5.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$x = 2.80175574 + \frac{π}{2}$

ステップ 6.5.2.2

$2.80175574$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$x = 4.37255207$

ステップ 6.6

$\sin (x - \frac{π}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 6.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.7

$\sin (x - \frac{π}{2})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\sin (x - \frac{π}{2}) = - \frac{1}{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x - \frac{π}{2} = \arcsin (- \frac{1}{3})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arcsin (- \frac{1}{3})$ の値を求めます。

$x - \frac{π}{2} = - 0.3398369$

ステップ 7.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$x = - 0.3398369 + \frac{π}{2}$

ステップ 7.3.2

$- 0.3398369$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$x = 1.23095941$

ステップ 7.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$

ステップ 7.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.5.1

$2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ から $2 π$ を引きます。

$x - \frac{π}{2} = 2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265 - 2 π$

ステップ 7.5.2

$3.48142956$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 (3.14159265) + 0.3398369 + 3.14159265$ と隣接します。

$x - \frac{π}{2} = 3.48142956$

ステップ 7.5.3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 7.5.3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{2}$ を足します。

$x = 3.48142956 + \frac{π}{2}$

ステップ 7.5.3.2

$3.48142956$ と $\frac{π}{2}$ をたし算します。

$x = 5.05222588$

ステップ 7.6

$\sin (x - \frac{π}{2})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.7

$\sin (x - \frac{π}{2})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = 1.91063323 + 2 π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n, 5.05222588 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

解をまとめます。

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ステップ 9.1

$5.05222588 + 2 π n$ と $1.91063323 + π n$ を $1.91063323 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 1.91063323 + π n, 4.37255207 + 2 π n, 1.23095941 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

$1.23095941 + 2 π n$ と $1.23095941 + π n$ を $4.37255207 + 2 π n$ にまとめます。

$x = 1.91063323 + π n, 1.23095941 + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例