三角関数例

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3}$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$2 x = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$

ステップ 3.2

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 3.3

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.4.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.4.3

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

ステップ 3.4.4

$4$ に $3$ をかけます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

ステップ 3.5

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

ステップ 3.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$4$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{8 π + π \cdot 3}{12}$

ステップ 3.6.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$2 x = \frac{8 π + 3 \cdot π}{12}$

ステップ 3.6.3

$8 π$ と $3 π$ をたし算します。

$2 x = \frac{11 π}{12}$

ステップ 4

$2 x = \frac{11 π}{12}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.1

$2 x = \frac{11 π}{12}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

ステップ 4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

ステップ 4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

ステップ 4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{11 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 4.3.2

$\frac{11 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

$\frac{11 π}{12}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{11 π}{12 \cdot 2}$

ステップ 4.3.2.2

$12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{11 π}{24}$

ステップ 5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 6

$x$ について解きます。

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ステップ 6.1

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.1.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.1.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.1.2.2

公分母の分子をまとめます。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 6.1.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.1.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 6.1.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

ステップ 6.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $\frac{π}{4}$ を足します。

$2 x = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.2

$\frac{4 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$2 x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.3

$\frac{π}{4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 6.2.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $12$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 6.2.4.1

$\frac{4 π}{3}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 6.2.4.2

$3$ に $4$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 6.2.4.3

$\frac{π}{4}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

ステップ 6.2.4.4

$4$ に $3$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

ステップ 6.2.5

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{4 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

ステップ 6.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.6.1

$4$ に $4$ をかけます。

$2 x = \frac{16 π + π \cdot 3}{12}$

ステップ 6.2.6.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$2 x = \frac{16 π + 3 \cdot π}{12}$

ステップ 6.2.6.3

$16 π$ と $3 π$ をたし算します。

$2 x = \frac{19 π}{12}$

ステップ 6.3

$2 x = \frac{19 π}{12}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.3.1

$2 x = \frac{19 π}{12}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{19 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{19 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{19 π}{12}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{19 π}{12 \cdot 2}$

ステップ 6.3.3.2.2

$12$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{19 π}{24}$

ステップ 7

$\cos (2 x - \frac{π}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8

$\cos (2 x - \frac{π}{4})$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{11 π}{24} + π n, \frac{19 π}{24} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例