三角関数例

$4 \cot (x) = \cot (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$4 \cot (x)$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 1.1.2

$4$ と $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ をまとめます。

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cot (x) \sin^{2} (x)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\cot (x) \sin^{2} (x)$ を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin^{2} (x)$

ステップ 2.1.2

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

ステップ 2.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) \sin (x))$

ステップ 2.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \cos (x) \sin (x)$

ステップ 3

方程式の両辺に $\sin (x)$ を掛けます。

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 4

$\sin (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1

共通因数を約分します。

$\sin (x) \frac{4 \cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 4.2

式を書き換えます。

$4 \cos (x) = \sin (x) (\cos (x) \sin (x))$

ステップ 5

$\sin (x) (\cos (x) \sin (x))$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin (x) \cos (x)$

ステップ 5.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \cos (x) = \sin^{1} (x) \sin^{1} (x) \cos (x)$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \cos (x) = {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x)$

ステップ 5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$4 \cos (x) = \sin^{2} (x) \cos (x)$

ステップ 6

方程式の両辺から $\sin^{2} (x) \cos (x)$ を引きます。

$4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 7

$4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ を因数分解します。

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ステップ 7.1

$\cos (x)$ を $4 \cos (x) - \sin^{2} (x) \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 7.1.1

$\cos (x)$ を $4 \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) \cdot 4 - \sin^{2} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 7.1.2

$\cos (x)$ を $- \sin^{2} (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.1.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cdot 4 + \cos (x) (- \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$\cos (x) (4 - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) (2^{2} - \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 7.3

因数分解。

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ステップ 7.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$\cos (x) ((2 + \sin (x)) (2 - \sin (x))) = 0$

ステップ 7.3.2

不要な括弧を削除します。

$\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$

ステップ 8

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$2 + \sin (x) = 0$

$2 - \sin (x) = 0$

ステップ 9

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 9.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 9.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 9.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 9.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 9.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 9.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 9.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 9.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

$2 + \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.1

$2 + \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$2 + \sin (x) = 0$

ステップ 10.2

$x$ について $2 + \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$\sin (x) = - 2$

ステップ 10.2.2

正弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 2$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 11

最終解は $\cos (x) (2 + \sin (x)) (2 - \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 12

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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