三角関数例

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

ステップ 1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

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ステップ 1.2.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

ステップ 1.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

ステップ 1.2.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\ln (x^{3}) = 6$

ステップ 2

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

ステップ 3

対数の定義を利用して $\ln (x^{3}) = 6$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{6} = x^{3}$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

方程式を $x^{3} = e^{6}$ として書き換えます。

$x^{3} = e^{6}$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $e^{6}$ を引きます。

$x^{3} - e^{6} = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.3.1

$e^{6}$ を ${(e^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

ステップ 4.3.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = e^{2}$ です。

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

ステップ 4.3.3

簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

${(e^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

ステップ 4.3.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

ステップ 4.3.3.2

項を並べ替えます。

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

ステップ 4.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

ステップ 4.5

$x - e^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$x - e^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x - e^{2} = 0$

ステップ 4.5.2

方程式の両辺に $e^{2}$ を足します。

$x = e^{2}$

ステップ 4.6

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.6.1

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ が $0$ に等しいとします。

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

ステップ 4.6.2

$x$ について $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ を解きます。

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ステップ 4.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 4.6.2.2

$a = 1$ 、 $b = e^{2}$ 、および $c = e^{4}$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3

簡約します。

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ステップ 4.6.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.6.2.3.1.1

$4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ を ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{2}$ であり、 $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ です。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.3

簡約します。

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ステップ 4.6.2.3.1.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.3.2

$e^{2}$ と $2 e^{2}$ をたし算します。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.3.3

指数をまとめます。

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ステップ 4.6.2.3.1.3.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.3.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.4

$e^{2}$ から $2 e^{2}$ を引きます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.5

指数をまとめます。

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ステップ 4.6.2.3.1.5.1

負をくくり出します。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.5.2

指数を足して $e^{2}$ に $e^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.6.2.3.1.5.2.1

$e^{2}$ を移動させます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.5.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.5.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.6

$- 3 e^{4}$ を ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.2.3.1.6.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.6.2

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.6.3

$e^{4}$ を ${(e^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.6.4

$3$ を移動させます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.6.5

$i^{2} {(e^{2})}^{2}$ を ${(i e^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.1.7

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 4.6.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.7

最終解は $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

三角関数 例

三角関数例