三角関数例

$z = 2 + 2 i$

ステップ 1

複素数の三角法の式です。ここで、 $| z |$ は絶対値、 $θ$ は複素数平面上にできる角です。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

ステップ 2

複素数の係数は、複素数平面上の原点からの距離です。

$z = a + b i$ ならば $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

ステップ 3

$a = 2$ と $b = 2$ の実際の値を代入します。

$| z | = \sqrt{2^{2} + 2^{2}}$

ステップ 4

$| z |$ を求めます。

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ステップ 4.1

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{4 + 2^{2}}$

ステップ 4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

ステップ 4.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$| z | = \sqrt{8}$

ステップ 4.4

$8$ を $2^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

ステップ 4.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

ステップ 4.5

累乗根の下から項を取り出します。

$| z | = 2 \sqrt{2}$

ステップ 5

複素平面上の点の角は、複素部分の実部分に対する逆正切です。

$θ = \arctan (\frac{2}{2})$

ステップ 6

$\frac{2}{2}$ の逆正接が第一象限で角を作るので、角の値は $\frac{π}{4}$ です。

$θ = \frac{π}{4}$

ステップ 7

$θ = \frac{π}{4}$ と $| z | = 2 \sqrt{2}$ の値を代入します。

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

ステップ 8

方程式の右辺を三角公式で置き換えます。

$z = 2 \sqrt{2} (\cos (\frac{π}{4}) + i \sin (\frac{π}{4}))$

三角関数 例