三角関数例

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

ステップ 1

双曲線の標準形を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$4 y^{2} - 8 y$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

ステップ 1.1.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.1.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1

$- 8$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot 4$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

ステップ 1.1.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 4}{4}$

ステップ 1.1.3.2.2

$- 4$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

ステップ 1.1.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.2.2.2.1

$4$ を $4$ で因数分解します。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{- 1}{1}$

ステップ 1.1.3.2.2.2.4

$- 1$ を $1$ で割ります。

$d = - 1$

ステップ 1.1.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.1.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.2.1.1

$- 8$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

ステップ 1.1.4.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - \frac{64}{16}$

ステップ 1.1.4.2.1.3

$64$ を $16$ で割ります。

$e = 0 - 1 \cdot 4$

ステップ 1.1.4.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$e = 0 - 4$

ステップ 1.1.4.2.2

$0$ から $4$ を引きます。

$e = - 4$

ステップ 1.1.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ に代入します。

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

ステップ 1.2

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$ を方程式 $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ の中の $4 y^{2} - 8 y$ に代入します。

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

ステップ 1.3

両辺に $4$ を加えて、 $- 4$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

ステップ 1.4

$- 25 x^{2} + 100 x$ の平方完成。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1

式 $a x^{2} + b x + c$ を利用して、 $a$ 、 $b$ 、 $c$ の値を求めます。

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

ステップ 1.4.2

放物線の標準形を考えます。

$a {(x + d)}^{2} + e$

ステップ 1.4.3

公式 $d = \frac{b}{2 a}$ を利用して $d$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.1

$a$ と $b$ の値を公式 $d = \frac{b}{2 a}$ に代入します。

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.4.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1

$100$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.1

$2$ を $100$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.4.3.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.1.2.1

$2$ を $2 \cdot - 25$ で因数分解します。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

ステップ 1.4.3.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

ステップ 1.4.3.2.1.2.3

式を書き換えます。

$d = \frac{50}{- 25}$

ステップ 1.4.3.2.2

$50$ と $- 25$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.3.2.2.1

$25$ を $50$ で因数分解します。

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

ステップ 1.4.3.2.2.2

$\frac{2}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$d = - 1 \cdot 2$

ステップ 1.4.3.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$d = - 2$

ステップ 1.4.4

公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ を利用して $e$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.1

$c$ 、 $b$ 、および $a$ の値を公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ に代入します。

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.4.2.1.1

$100$ を $2$ 乗します。

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

ステップ 1.4.4.2.1.2

$4$ に $- 25$ をかけます。

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

ステップ 1.4.4.2.1.3

$10000$ を $- 100$ で割ります。

$e = 0 - - 100$

ステップ 1.4.4.2.1.4

$- 1$ に $- 100$ をかけます。

$e = 0 + 100$

ステップ 1.4.4.2.2

$0$ と $100$ をたし算します。

$e = 100$

ステップ 1.4.5

$a$ 、 $d$ 、および $e$ の値を頂点形 $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ に代入します。

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

ステップ 1.5

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ を方程式 $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ の中の $- 25 x^{2} + 100 x$ に代入します。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

ステップ 1.6

両辺に $100$ を加えて、 $100$ を方程式の右辺に移動させます。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

ステップ 1.7

$196 + 4 - 100$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$196$ と $4$ をたし算します。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

ステップ 1.7.2

$200$ から $100$ を引きます。

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

ステップ 1.8

各項を $100$ で割り、右辺を1と等しくします。

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

ステップ 1.9

方程式の各項を簡約し、右辺を $1$ に等しくします。楕円または双曲線の標準形は、方程式の右辺が $1$ に等しいことが必要です。

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

ステップ 2

双曲線の形です。この形を利用して、双曲線の漸近線を求めるために使用する値を決定します。

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

ステップ 3

この双曲線の中の値を標準形の値と一致させます。変数 $h$ は原点からのx補正値を、 $k$ は原点 $a$ からのy補正値を表します。

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

ステップ 4

この双曲線は上下に開なので、漸近線は $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ の形に従います。

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

ステップ 5

簡約し、1番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

括弧を削除します。

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

ステップ 5.2

$\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

ステップ 5.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{5}{2}$ と $x$ をまとめます。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

ステップ 5.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.4.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

ステップ 5.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

ステップ 5.2.1.4.3

式を書き換えます。

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

ステップ 5.2.1.5

$5$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

ステップ 5.2.2

$- 5$ と $1$ をたし算します。

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

ステップ 6

簡約し、2番目の漸近線を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

括弧を削除します。

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

ステップ 6.2

$- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

ステップ 6.2.1.2

分配則を当てはめます。

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

ステップ 6.2.1.3

$x$ と $\frac{5}{2}$ をまとめます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

ステップ 6.2.1.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.4.1

$- \frac{5}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

ステップ 6.2.1.4.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

ステップ 6.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

ステップ 6.2.1.4.4

式を書き換えます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

ステップ 6.2.1.5

$- 5$ に $- 1$ をかけます。

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

ステップ 6.2.1.6

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

ステップ 6.2.2

$5$ と $1$ をたし算します。

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

ステップ 7

この双曲線には2本の漸近線があります。

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

ステップ 8

漸近線は $y = \frac{5 x}{2} - 4$ と $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ です。

漸近線： $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

ステップ 9

三角関数 例

三角関数例