三角関数例

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

ステップ 1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

ステップ 2

$\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ を簡約します。

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ステップ 2.1

$- 4 \cos (2 x)$ を $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.1

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

ステップ 2.1.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

ステップ 2.1.3

括弧を付けます。

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

ステップ 2.2

累乗根の下から項を取り出します。

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

ステップ 3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

ステップ 3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

ステップ 3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

ステップ 4

$\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1.1

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.1.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.1.2.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

ステップ 5.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (2 x) \leq 0$

ステップ 5.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x \leq \arccos (0)$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x \leq \frac{π}{2}$

ステップ 5.4

$2 x \leq \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$2 x \leq \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 5.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.4.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.4.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.4.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x \leq \frac{π}{4}$

ステップ 5.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.6

$x$ について解きます。

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ステップ 5.6.1

簡約します。

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ステップ 5.6.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.6.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.6.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.6.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.6.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.6.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.6.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 5.6.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 5.6.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 5.6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.6.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 5.6.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.6.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.6.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.7

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.7.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 5.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 5.7.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.7.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 5.7.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.8

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.10

各根を利用して検定区間を作成します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 5.11.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.11.1.1

区間 $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 5.11.1.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

ステップ 5.11.1.3

左辺 $0.65364362$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 5.11.2

区間 $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 5.11.2.1

区間 $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 3$

ステップ 5.11.2.2

$x$ を元の不等式の $3$ で置き換えます。

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

ステップ 5.11.2.3

左辺 $- 0.96017028$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 5.11.3

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 真

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 偽

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ 真

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ 偽

ステップ 5.12

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

集合の内包的記法：

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

ステップ 7

三角関数 例

三角関数例