三角関数例

$\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$

ステップ 1

交点 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ 、 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$ は $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$ です。

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ です。

$\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5.3

因数分解した形で $\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5.3.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5.5

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 5.6

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ に $\frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x \cdot x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 7

分配法則（FOIL法）を使って $(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ と $\sqrt{(x + 3) (x - 3)} x$ について因数を並べ替えます。

$\sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.1.2

$- x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ と $x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.1.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.3

$- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.3.2

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.4

${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ を $(x + 3) (x - 3)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ を ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.4.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.4.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.4.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.4.5

簡約します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 3) (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 3) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 3) + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.5.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.6

$x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.6.1

$x \cdot - 3$ と $3 x$ について因数を並べ替えます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.6.2

$- 3 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.6.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.7.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.7.2

$3$ に $- 3$ をかけます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 9)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.8

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} - - 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.2.9

$- 1$ に $- 9$ をかけます。

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\sqrt{\frac{0 + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.3.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$0$ と $9$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 8.3.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{3^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 9

$\frac{3^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{3}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 11

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

まとめる。

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 11.2

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 11.2.2

式を書き換えます。

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

ステップ 12

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

ステップ 12.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

ステップ 13

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ をかけます。

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

ステップ 14

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ に $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ をかけます。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

ステップ 14.2

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

ステップ 14.3

$\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ を $1$ 乗します。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1}}$

ステップ 14.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}$

ステップ 14.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}$

ステップ 14.6

${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ を $(x + 3) (x - 3)$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ を ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 14.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 14.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 14.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{1}}$

ステップ 14.6.5

簡約します。

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{(x + 3) (x - 3)}$

三角関数 例

三角関数例