三角関数例

$\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$

ステップ 1

交点 $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$ は $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$ です。

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}$ であり、 $b = 1$ です。

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + 1) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{u}{u}) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 5.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{u}{u}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1 \cdot \frac{u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 5.4

$- 1$ と $\frac{u}{u}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{- u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 5.5

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 6

分数をまとめます。

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ステップ 6.1

$\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u}$ に $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u \cdot u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 6.2

$u$ に $u$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 7

分配法則（FOIL法）を使って $(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)$ を展開します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} (\sqrt{u^{2} + 25} - u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 7.3

分配則を当てはめます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

$\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 8.1.1

$\sqrt{u^{2} + 25} (- u)$ と $u \sqrt{u^{2} + 25}$ について因数を並べ替えます。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} - u \sqrt{u^{2} + 25} + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.1.2

$- u \sqrt{u^{2} + 25}$ と $u \sqrt{u^{2} + 25}$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + 0 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.1.3

$\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ と $0$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ を掛けます。

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ステップ 8.2.1.1

$\sqrt{u^{2} + 25}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.1.2

$\sqrt{u^{2} + 25}$ を $1$ 乗します。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.2

${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ を $u^{2} + 25$ に書き換えます。

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ステップ 8.2.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u^{2} + 25}$ を ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.2.4.2

式を書き換えます。

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.2.5

簡約します。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u \cdot u}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.4

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 8.2.4.1

$u$ を移動させます。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - (u \cdot u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.2.4.2

$u$ に $u$ をかけます。

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.3

項を加えて簡約します。

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ステップ 8.3.1

$u^{2} + 25 - u^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 8.3.1.1

$u^{2}$ から $u^{2}$ を引きます。

$\sqrt{\frac{0 + 25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.3.1.2

$0$ と $25$ をたし算します。

$\sqrt{\frac{25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 8.3.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{\frac{5^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 9

$\frac{5^{2}}{u^{2}}$ を ${(\frac{5}{u})}^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(\frac{5}{u})}^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 10

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{5}{u} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 11

まとめる。

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 12

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 12.2

式を書き換えます。

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 13

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ に $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ をかけます。

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 14

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 14.1

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ に $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ をかけます。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 14.2

$\sqrt{u^{2} + 25}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25}}$

ステップ 14.3

$\sqrt{u^{2} + 25}$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1}}$

ステップ 14.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

ステップ 14.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}}$

ステップ 14.6

${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ を $u^{2} + 25$ に書き換えます。

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ステップ 14.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{u^{2} + 25}$ を ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 14.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 14.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 14.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 14.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{1}}$

ステップ 14.6.5

簡約します。

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{u^{2} + 25}$

三角関数 例

三角関数例