三角関数例

$\frac{x + 32}{x^{2} + 24 x + 128}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 24 x + 128$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $128$ で、その和が $24$ です。

$8, 16$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x + 32}{(x + 8) (x + 16)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 8}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x + 8) (x + 16)$ です。

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.5

$x + 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.6

$x + 16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.6.2

$x + 32$ を $1$ で割ります。

$x + 32 = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1

$x + 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.1.1

共通因数を約分します。

$x + 32 = \frac{A (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.7.1.2

$(A) (x + 16)$ を $1$ で割ります。

$x + 32 = (A) (x + 16) + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.7.2

分配則を当てはめます。

$x + 32 = A x + A \cdot 16 + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.7.3

$16$ を $A$ の左に移動させます。

$x + 32 = A x + 16 \cdot A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.7.4

$x + 16$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.7.4.1

共通因数を約分します。

$x + 32 = A x + 16 A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

ステップ 1.7.4.2

$(B) (x + 8)$ を $1$ で割ります。

$x + 32 = A x + 16 A + (B) (x + 8)$

ステップ 1.7.5

分配則を当てはめます。

$x + 32 = A x + 16 A + B x + B \cdot 8$

ステップ 1.7.6

$8$ を $B$ の左に移動させます。

$x + 32 = A x + 16 A + B x + 8 B$

ステップ 1.8

$16 A$ を移動させます。

$x + 32 = A x + B x + 16 A + 8 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$32 = 16 A + 8 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$32 = 16 A + 8 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$32 = 16 A + 8 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$32 = 16 (1 - B) + 8 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$16 (1 - B) + 8 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$32 = 16 \cdot 1 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$16$ に $1$ をかけます。

$32 = 16 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $16$ をかけます。

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 16 B$ と $8 B$ をたし算します。

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3

$32 = 16 - 8 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $16 - 8 B = 32$ として書き換えます。

$16 - 8 B = 32$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- 8 B = 32 - 16$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.2.2

$32$ から $16$ を引きます。

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3

$- 8 B = 16$ の各項を $- 8$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 8 B = 16$ の各項を $- 8$ で割ります。

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

$- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.3.1

$16$ を $- 8$ で割ります。

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $- 2$ で置き換えます。

$A = 1 - (- 2)$

$B = - 2$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$1 - (- 2)$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$A = 1 + 2$

$B = - 2$

ステップ 3.4.2.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = 3, B = - 2$

ステップ 4

$\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{3}{x + 8} + \frac{- 2}{x + 16}$

三角関数 例

三角関数例