三角関数例

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x - 6}{x + 2}$

ステップ 1

有理根検定を用いて $x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 1.1

多項式関数が整数係数をもつならば、すべての有理数0は $\frac{p}{q}$ の形をもち、 $p$ は定数の因数、 $q$ は首位係数の因数です。

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

ステップ 1.2

$\pm \frac{p}{q}$ のすべての組み合わせを求めます。これらは、多項式関数の可能な根です。

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

ステップ 1.3

$- 2$ を代入し、式を簡約します。この場合、式は $0$ に等しいので、 $- 2$ は多項式の根です。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ を多項式に代入します。

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 6$

ステップ 1.3.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 - 6$

ステップ 1.3.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 + 4 - 5 \cdot - 2 - 6$

ステップ 1.3.4

$- 8$ と $4$ をたし算します。

$- 4 - 5 \cdot - 2 - 6$

ステップ 1.3.5

$- 5$ に $- 2$ をかけます。

$- 4 + 10 - 6$

ステップ 1.3.6

$- 4$ と $10$ をたし算します。

$6 - 6$

ステップ 1.3.7

$6$ から $6$ を引きます。

$0$

ステップ 1.4

$- 2$ は既知の根なので、多項式を $x + 2$ で割り、多項式の商を求めます。この多項式は他の根を求めるために利用できます。

$\frac{x^{3} + x^{2} - 5 x - 6}{x + 2}$

ステップ 1.5

$x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ を $x + 2$ で割ります。

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ステップ 1.5.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$5 x$

$6$

ステップ 1.5.2

被除数 $x^{3}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$

ステップ 1.5.3

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

ステップ 1.5.4

式は被除数から引く必要があるので、 $x^{3} + 2 x^{2}$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

ステップ 1.5.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

ステップ 1.5.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 1.5.7

被除数 $- x^{2}$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$

ステップ 1.5.8

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

ステップ 1.5.9

式は被除数から引く必要があるので、 $- x^{2} - 2 x$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

ステップ 1.5.10

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$

ステップ 1.5.11

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$

ステップ 1.5.12

被除数 $- 3 x$ の最高次項を除数 $x$ の最高次項で割ります。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$

ステップ 1.5.13

新しい商の項に除数を掛けます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

ステップ 1.5.14

式は被除数から引く必要があるので、 $- 3 x - 6$ の符号をすべて変更します。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

ステップ 1.5.15

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$5 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$
										$0$

ステップ 1.5.16

余りが $0$ なので、最終回答は商です。

$x^{2} - x - 3$

ステップ 1.6

$x^{3} + x^{2} - 5 x - 6$ を因数の集合として書き換えます。

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$

ステップ 2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 2.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$ を約分します。

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ステップ 2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 2) (x^{2} - x - 3)}{x + 2}$

ステップ 2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} - x - 3}{1}$

ステップ 2.2

$x^{2} - x - 3$ を $1$ で割ります。

$x^{2} - x - 3$

三角関数 例

三角関数例