三角関数例

$\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$

ステップ 1

交点 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ 、 $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $arccsc (\frac{x}{2})$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}, 1)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (arccsc (\frac{x}{2}))$ は $\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$ です。

$\frac{\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{\frac{x}{2}}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1} \frac{2}{x}$

ステップ 3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}} \frac{2}{x}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{x}{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

ステップ 5

1つの分数にまとめます。

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ステップ 5.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

ステップ 5.2

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)} \frac{2}{x}$

ステップ 6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})} \frac{2}{x}$

ステップ 7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})} \frac{2}{x}$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}} \frac{2}{x}$

ステップ 9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}} \frac{2}{x}$

ステップ 10

$\frac{x + 2}{2}$ に $\frac{x - 2}{2}$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}$

ステップ 11

$2$ に $2$ をかけます。

$\sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}} \frac{2}{x}$

ステップ 12

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ を ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ に書き換えます。

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ステップ 12.1

$(x + 2) (x - 2)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}} \frac{2}{x}$

ステップ 12.2

$4$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}$

ステップ 12.3

分数 $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))} \frac{2}{x}$

ステップ 13

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{2}{x}$

ステップ 14

$\frac{1}{2}$ と $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

ステップ 15

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 15.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} \cdot \frac{2}{x}$

ステップ 15.2

式を書き換えます。

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)} \frac{1}{x}$

ステップ 16

$\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{x}$

三角関数 例

三角関数例