三角関数例

$\cot (3 x) < 0$

ステップ 1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$3 x < arccot (0)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$3 x < \frac{π}{2}$

ステップ 3

$3 x < \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$3 x < \frac{π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x < \frac{π}{6}$

ステップ 4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$3 x = π + \frac{π}{2}$

ステップ 5

$x$ について解きます。

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ステップ 5.1

簡約します。

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ステップ 5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.1.2

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 5.1.4

$π \cdot 2$ と $π$ をたし算します。

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ステップ 5.1.4.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 5.1.4.2

$2 \cdot π$ と $π$ をたし算します。

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

ステップ 5.2

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

ステップ 5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.2.1

$3$ を $3 \cdot π$ で因数分解します。

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.2.3.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 6

$\cot (3 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 3 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{π}{3}$

ステップ 7

$\cot (3 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{3}$ なので、両方向で $\frac{π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\cot (3 x)$ の定義域を求めます。

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ステップ 9.1

$\cot (3 x)$ の偏角を $π n$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

$3 x = π n$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.2.1

$3 x = π n$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

ステップ 9.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

ステップ 9.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{π n}{3}$

ステップ 9.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ 、 $n$ の任意の整数

ステップ 10

各根を利用して検定区間を作成します。

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

ステップ 11

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 11.1

区間 $0 < x < \frac{π}{6}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.1.1

区間 $0 < x < \frac{π}{6}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0.26$

ステップ 11.1.2

$x$ を元の不等式の $0.26$ で置き換えます。

$\cot (3 (0.26)) < 0$

ステップ 11.1.3

左辺 $1.01085502$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.2

区間 $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.2.1

区間 $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1$

ステップ 11.2.2

$x$ を元の不等式の $1$ で置き換えます。

$\cot (3 (1)) < 0$

ステップ 11.2.3

左辺 $- 7.01525255$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 11.3

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 11.3.1

区間 $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 1.31$

ステップ 11.3.2

$x$ を元の不等式の $1.31$ で置き換えます。

$\cot (3 (1.31)) < 0$

ステップ 11.3.3

左辺 $0.99399967$ は右辺 $0$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 11.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$0 < x < \frac{π}{6}$ 偽

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ 真

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 偽

$0 < x < \frac{π}{6}$ 偽

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ 真

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ 偽

ステップ 12

解はすべての真の区間からなります。

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 13

三角関数 例

三角関数例