三角関数例

$\sin (x) - \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)} = 0$

ステップ 1

方程式の両辺から $\sin (x)$ を引きます。

$- \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)} = - \sin (x)$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)}$ を ${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- {(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

${(- {(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $- {(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 {({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.3

${({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ に $1$ をかけます。

${({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.4

${({(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.2.1.4.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.4.2.1

共通因数を約分します。

${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.4.2.2

式を書き換えます。

${(3 - 3 \sin^{2} (x))}^{1} = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.2.1.5

簡約します。

$3 - 3 \sin^{2} (x) = {(- \sin (x))}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

${(- \sin (x))}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の法則を $- \sin (x)$ に当てはめます。

$3 - 3 \sin^{2} (x) = {(- 1)}^{2} \sin^{2} (x)$

ステップ 3.3.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$3 - 3 \sin^{2} (x) = 1 \sin^{2} (x)$

ステップ 3.3.1.3

$\sin^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$3 - 3 \sin^{2} (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 4

$\sin (x)$ について解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (x)$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 4.1.1

方程式の両辺から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$3 - 3 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 4.1.2

$- 3 \sin^{2} (x)$ から $\sin^{2} (x)$ を引きます。

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 4.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

ステップ 4.3

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.3.1

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 4.3.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

ステップ 4.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 4.5

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 4.5.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 4.5.2

分母を簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 4.5.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 4.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 6.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{3}$

ステップ 6.4

$π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 6.4.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 7.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

ステップ 7.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.4.1

$2 π + \frac{π}{3} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

ステップ 7.4.2

$\frac{4 π}{3}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{3} + π$ と隣接します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 7.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

ステップ 7.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.6.3

分数をまとめます。

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ステップ 7.6.3.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 7.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 7.6.4

分子を簡約します。

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ステップ 7.6.4.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 π - π}{3}$

ステップ 7.6.4.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{5 π}{3}$

ステップ 7.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 7.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

解をまとめます。

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ステップ 9.1

$\frac{4 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

$\sin (x) - \sqrt{3 - 3 \sin^{2} (x)} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例