三角関数例

$\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\ln ((1 - x) (9 - x)) = \ln (20)$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - x) (9 - x)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\ln (1 (9 - x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x (9 - x)) = \ln (20)$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\ln (1 \cdot 9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$9$ に $1$ をかけます。

$\ln (9 + 1 (- x) - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

ステップ 1.3.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$\ln (9 - x - x \cdot 9 - x (- x)) = \ln (20)$

ステップ 1.3.1.3

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (9 - x - 9 x - x (- x)) = \ln (20)$

ステップ 1.3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) = \ln (20)$

ステップ 1.3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) = \ln (20)$

ステップ 1.3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\ln (9 - x - 9 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) = \ln (20)$

ステップ 1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\ln (9 - x - 9 x + 1 x^{2}) = \ln (20)$

ステップ 1.3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\ln (9 - x - 9 x + x^{2}) = \ln (20)$

ステップ 1.3.2

$- x$ から $9 x$ を引きます。

$\ln (9 - 10 x + x^{2}) = \ln (20)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$9 - 10 x + x^{2} = 20$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$9 - 10 x + x^{2} - 20 = 0$

ステップ 3.2

$9$ から $20$ を引きます。

$- 10 x + x^{2} - 11 = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$u = x$ とします。 $u$ を $x$ に代入します。

$- 10 u + u^{2} - 11 = 0$

ステップ 3.3.2

たすき掛けを利用して $- 10 u + u^{2} - 11$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 11$ で、その和が $- 10$ です。

$- 11, 1$

ステップ 3.3.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 11) (u + 1) = 0$

ステップ 3.3.3

$u$ のすべての発生を $x$ で置き換えます。

$(x - 11) (x + 1) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 11 = 0$

$x + 1 = 0$

ステップ 3.5

$x - 11$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 11$ が $0$ に等しいとします。

$x - 11 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $11$ を足します。

$x = 11$

ステップ 3.6

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3.7

最終解は $(x - 11) (x + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 11, - 1$

ステップ 4

$\ln (1 - x) + \ln (9 - x) = \ln (20)$ が真にならない解を除外します。

$x = - 1$

三角関数 例

三角関数例