三角関数例

$\cos (2 x) - \cos (6 x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (6 x) = 0$

ステップ 1.1.2

$2$ を $6 x$ で因数分解します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (2 (3 x)) = 0$

ステップ 1.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

三角関数表現を利用して $\cos (3 x)$ を $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ に変換します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 {(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2} - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.2

${(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))}^{2}$ を $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ に書き換えます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 ((4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.3

分配法則（FOIL法）を使って $(4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.3.1

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.3.2

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.3.3

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cos^{3} (x) (4 \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{3} (x) \cos^{3} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.2

指数を足して $\cos^{3} (x)$ に $\cos^{3} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.2.1

$\cos^{3} (x)$ を移動させます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 (\cos^{3} (x) \cos^{3} (x))) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 {\cos (x)}^{3 + 3}) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.2.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (4 \cdot (4 \cos^{6} (x)) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.3

$4$ に $4$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{3} (x) (- 3 \cos (x)) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.4

指数を足して $\cos^{3} (x)$ に $\cos (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.4.1

$\cos (x)$ を移動させます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.4.2

$\cos (x)$ に $\cos^{3} (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.4.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 (\cos (x) \cos^{3} (x)) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 {\cos (x)}^{1 + 3} \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.4.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) + 4 \cos^{4} (x) \cdot - 3 - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.5

$- 3$ に $4$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (4 \cos^{3} (x)) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.6

指数を足して $\cos (x)$ に $\cos^{3} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.6.1

$\cos^{3} (x)$ を移動させます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.6.2

$\cos^{3} (x)$ に $\cos (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.4.1.6.2.1

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 (\cos^{3} (x) \cos (x)) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 {\cos (x)}^{3 + 1} \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.6.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos^{4} (x) \cdot 4 - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.7

$4$ に $- 3$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.8

$- 3 \cos (x) (- 3 \cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 1.1.3.4.1.8.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos (x) \cos (x)) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.8.2

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.8.3

$\cos (x)$ を $1$ 乗します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 (\cos (x) \cos (x))) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.8.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 {\cos (x)}^{1 + 1}) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.1.8.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 12 \cos^{4} (x) - 12 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 12 \cos^{4} (x)$ から $12 \cos^{4} (x)$ を引きます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x) - 24 \cos^{4} (x) + 9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.5

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (2 (16 \cos^{6} (x)) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$16$ に $2$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) + 2 (- 24 \cos^{4} (x)) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.6.2

$- 24$ に $2$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 2 (9 \cos^{2} (x)) - 1) = 0$

ステップ 1.1.3.6.3

$9$ に $2$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x) - 48 \cos^{4} (x) + 18 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 1.1.4

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - (32 \cos^{6} (x)) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

ステップ 1.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.5.1

$32$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) - (- 48 \cos^{4} (x)) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

ステップ 1.1.5.2

$- 48$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - (18 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

ステップ 1.1.5.3

$18$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 1.1.5.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 1.2

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$2 \cos^{2} (x) - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) + 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.2.1.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) + 0 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.1.2

$2 \cos^{2} (x)$ と $0$ をたし算します。

$2 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) - 18 \cos^{2} (x) = 0$

ステップ 1.2.2

$2 \cos^{2} (x)$ から $18 \cos^{2} (x)$ を引きます。

$- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

ステップ 2

$- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

$16 \cos^{2} (x)$ を $- 16 \cos^{2} (x) - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$16 \cos^{2} (x)$ を $- 16 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 32 \cos^{6} (x) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

ステップ 2.1.2

$16 \cos^{2} (x)$ を $- 32 \cos^{6} (x)$ で因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 48 \cos^{4} (x) = 0$

ステップ 2.1.3

$16 \cos^{2} (x)$ を $48 \cos^{4} (x)$ で因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.4

$16 \cos^{2} (x)$ を $16 \cos^{2} (x) \cdot - 1 + 16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x))$ で因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.1.5

$16 \cos^{2} (x)$ を $16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x)) + 16 \cos^{2} (x) (3 \cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) (- 1 - 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.2

群による因数分解。

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ステップ 2.2.1

項を並べ替えます。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot - 1 = 2$ で和が $b = 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1

$3$ を $3 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 3 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.2

$3$ を $1$ プラス $2$ に書き換える

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + (1 + 2) \cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + 1 \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$\cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) (\cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) - (- 2 \cos^{2} (x) + 1)) = 0$

ステップ 2.2.4

最大公約数 $- 2 \cos^{2} (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

ステップ 2.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

ステップ 2.4

因数分解。

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ステップ 2.4.1

因数分解。

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ステップ 2.4.1.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

ステップ 2.4.1.2

不要な括弧を削除します。

$16 \cos^{2} (x) ((- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

ステップ 2.4.2

不要な括弧を削除します。

$16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos^{2} (x) = 0$

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 4

$\cos^{2} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\cos^{2} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos^{2} (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos^{2} (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\cos (x) = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$\cos (x) = 0$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.6.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$- 2 \cos^{2} (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$- 2 \cos^{2} (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $- 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$

ステップ 5.2.2

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\cos^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

ステップ 5.2.4

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.2.4.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.2.4.3

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

ステップ 5.2.4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.1

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ に $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ をかけます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

ステップ 5.2.4.4.2

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

ステップ 5.2.4.4.3

$\sqrt{2}$ を $1$ 乗します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

ステップ 5.2.4.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

ステップ 5.2.4.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 5.2.4.4.6

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 5.2.4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 5.2.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 5.2.4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

ステップ 5.2.4.4.6.5

指数を求めます。

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 5.2.7

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.2.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.7.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π - \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.2.7.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - π}{4}$

ステップ 5.2.7.4.3.2

$8 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{4}$

ステップ 5.2.7.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.7.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.8

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

ステップ 5.2.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ の厳密値は $\frac{3 π}{4}$ です。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.8.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.8.4

$2 π - \frac{3 π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.8.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.4.2.1

$2 π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

ステップ 5.2.8.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.4.3.1

$4$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

ステップ 5.2.8.4.3.2

$8 π$ から $3 π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.2.8.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5.2.10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 6.2.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 6.2.5

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 6.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$\cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 7.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 7.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

最終解は $16 \cos^{2} (x) (- 2 \cos^{2} (x) + 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

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ステップ 9.1

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

$2 π n$ と $π n$ を $π + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.3

$π n$ と $\frac{π n}{2}$ を $\frac{π}{2} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.4

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ と $\frac{π n}{4}$ を $\frac{π n}{2}$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{4}, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.5

$2 π + 2 π n$ と $\frac{π n}{4}$ を $\frac{π n}{4}$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{4}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例