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三角関数 例
ステップ 1
ステップ 1.1
各項を簡約します。
ステップ 1.1.1
2倍角の公式を利用してをに変換します。
ステップ 1.1.2
をで因数分解します。
ステップ 1.1.3
各項を簡約します。
ステップ 1.1.3.1
三角関数表現を利用してをに変換します。
ステップ 1.1.3.2
をに書き換えます。
ステップ 1.1.3.3
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
ステップ 1.1.3.3.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.3.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.3.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.4
簡約し、同類項をまとめます。
ステップ 1.1.3.4.1
各項を簡約します。
ステップ 1.1.3.4.1.1
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.1.3.4.1.2
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.1.3.4.1.2.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.4.1.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.2.3
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.4.1.3
にをかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.4
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.1.3.4.1.4.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.4.1.4.2
にをかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.4.2.1
を乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.4.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.4.3
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.4.1.5
にをかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.6
指数を足してにを掛けます。
ステップ 1.1.3.4.1.6.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.4.1.6.2
にをかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.6.2.1
を乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.6.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.6.3
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.4.1.7
にをかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.8
を掛けます。
ステップ 1.1.3.4.1.8.1
にをかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.8.2
を乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.8.3
を乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.8.4
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.8.5
とをたし算します。
ステップ 1.1.3.4.2
からを引きます。
ステップ 1.1.3.5
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.6
簡約します。
ステップ 1.1.3.6.1
にをかけます。
ステップ 1.1.3.6.2
にをかけます。
ステップ 1.1.3.6.3
にをかけます。
ステップ 1.1.4
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.5
簡約します。
ステップ 1.1.5.1
にをかけます。
ステップ 1.1.5.2
にをかけます。
ステップ 1.1.5.3
にをかけます。
ステップ 1.1.5.4
にをかけます。
ステップ 1.2
項を加えて簡約します。
ステップ 1.2.1
の反対側の項を組み合わせます。
ステップ 1.2.1.1
とをたし算します。
ステップ 1.2.1.2
とをたし算します。
ステップ 1.2.2
からを引きます。
ステップ 2
ステップ 2.1
をで因数分解します。
ステップ 2.1.1
をで因数分解します。
ステップ 2.1.2
をで因数分解します。
ステップ 2.1.3
をで因数分解します。
ステップ 2.1.4
をで因数分解します。
ステップ 2.1.5
をで因数分解します。
ステップ 2.2
群による因数分解。
ステップ 2.2.1
項を並べ替えます。
ステップ 2.2.2
の形の多項式について、積がで和がである2項の和に中央の項を書き換えます。
ステップ 2.2.2.1
をで因数分解します。
ステップ 2.2.2.2
をプラスに書き換える
ステップ 2.2.2.3
分配則を当てはめます。
ステップ 2.2.2.4
にをかけます。
ステップ 2.2.3
各群から最大公約数を因数分解します。
ステップ 2.2.3.1
前の2項と後ろの2項をまとめます。
ステップ 2.2.3.2
各群から最大公約数を因数分解します。
ステップ 2.2.4
最大公約数を因数分解して、多項式を因数分解します。
ステップ 2.3
をに書き換えます。
ステップ 2.4
因数分解。
ステップ 2.4.1
因数分解。
ステップ 2.4.1.1
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 2.4.1.2
不要な括弧を削除します。
ステップ 2.4.2
不要な括弧を削除します。
ステップ 3
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 4
ステップ 4.1
がに等しいとします。
ステップ 4.2
についてを解きます。
ステップ 4.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
ステップ 4.2.2
を簡約します。
ステップ 4.2.2.1
をに書き換えます。
ステップ 4.2.2.2
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 4.2.2.3
プラスマイナスはです。
ステップ 4.2.3
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 4.2.4
右辺を簡約します。
ステップ 4.2.4.1
の厳密値はです。
ステップ 4.2.5
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 4.2.6
を簡約します。
ステップ 4.2.6.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 4.2.6.2
分数をまとめます。
ステップ 4.2.6.2.1
とをまとめます。
ステップ 4.2.6.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 4.2.6.3
分子を簡約します。
ステップ 4.2.6.3.1
にをかけます。
ステップ 4.2.6.3.2
からを引きます。
ステップ 4.2.7
の周期を求めます。
ステップ 4.2.7.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 4.2.7.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 4.2.7.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 4.2.7.4
をで割ります。
ステップ 4.2.8
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5
ステップ 5.1
がに等しいとします。
ステップ 5.2
についてを解きます。
ステップ 5.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.2.2
の各項をで割り、簡約します。
ステップ 5.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 5.2.2.2
左辺を簡約します。
ステップ 5.2.2.2.1
の共通因数を約分します。
ステップ 5.2.2.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.2.2.2.1.2
をで割ります。
ステップ 5.2.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 5.2.2.3.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
ステップ 5.2.4
を簡約します。
ステップ 5.2.4.1
をに書き換えます。
ステップ 5.2.4.2
のいずれの根はです。
ステップ 5.2.4.3
にをかけます。
ステップ 5.2.4.4
分母を組み合わせて簡約します。
ステップ 5.2.4.4.1
にをかけます。
ステップ 5.2.4.4.2
を乗します。
ステップ 5.2.4.4.3
を乗します。
ステップ 5.2.4.4.4
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 5.2.4.4.5
とをたし算します。
ステップ 5.2.4.4.6
をに書き換えます。
ステップ 5.2.4.4.6.1
を利用し、をに書き換えます。
ステップ 5.2.4.4.6.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 5.2.4.4.6.3
とをまとめます。
ステップ 5.2.4.4.6.4
の共通因数を約分します。
ステップ 5.2.4.4.6.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.2.4.4.6.4.2
式を書き換えます。
ステップ 5.2.4.4.6.5
指数を求めます。
ステップ 5.2.5
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 5.2.5.1
まず、の正の数を利用し、1番目の解を求めます。
ステップ 5.2.5.2
次に、の負の値を利用し。2番目の解を求めます。
ステップ 5.2.5.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 5.2.6
各解を求め、を解きます。
ステップ 5.2.7
のについて解きます。
ステップ 5.2.7.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 5.2.7.2
右辺を簡約します。
ステップ 5.2.7.2.1
の厳密値はです。
ステップ 5.2.7.3
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 5.2.7.4
を簡約します。
ステップ 5.2.7.4.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 5.2.7.4.2
分数をまとめます。
ステップ 5.2.7.4.2.1
とをまとめます。
ステップ 5.2.7.4.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.2.7.4.3
分子を簡約します。
ステップ 5.2.7.4.3.1
にをかけます。
ステップ 5.2.7.4.3.2
からを引きます。
ステップ 5.2.7.5
の周期を求めます。
ステップ 5.2.7.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 5.2.7.5.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 5.2.7.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 5.2.7.5.4
をで割ります。
ステップ 5.2.7.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5.2.8
のについて解きます。
ステップ 5.2.8.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 5.2.8.2
右辺を簡約します。
ステップ 5.2.8.2.1
の厳密値はです。
ステップ 5.2.8.3
余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第三象限で解を求めます。
ステップ 5.2.8.4
を簡約します。
ステップ 5.2.8.4.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 5.2.8.4.2
分数をまとめます。
ステップ 5.2.8.4.2.1
とをまとめます。
ステップ 5.2.8.4.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.2.8.4.3
分子を簡約します。
ステップ 5.2.8.4.3.1
にをかけます。
ステップ 5.2.8.4.3.2
からを引きます。
ステップ 5.2.8.5
の周期を求めます。
ステップ 5.2.8.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 5.2.8.5.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 5.2.8.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 5.2.8.5.4
をで割ります。
ステップ 5.2.8.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5.2.9
すべての解をまとめます。
、任意の整数
ステップ 5.2.10
答えをまとめます。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 6
ステップ 6.1
がに等しいとします。
ステップ 6.2
についてを解きます。
ステップ 6.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 6.2.2
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 6.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 6.2.3.1
の厳密値はです。
ステップ 6.2.4
余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第三象限で解を求めます。
ステップ 6.2.5
からを引きます。
ステップ 6.2.6
の周期を求めます。
ステップ 6.2.6.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 6.2.6.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 6.2.6.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 6.2.6.4
をで割ります。
ステップ 6.2.7
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 7
ステップ 7.1
がに等しいとします。
ステップ 7.2
についてを解きます。
ステップ 7.2.1
方程式の両辺にを足します。
ステップ 7.2.2
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 7.2.3
右辺を簡約します。
ステップ 7.2.3.1
の厳密値はです。
ステップ 7.2.4
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 7.2.5
からを引きます。
ステップ 7.2.6
の周期を求めます。
ステップ 7.2.6.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 7.2.6.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 7.2.6.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 7.2.6.4
をで割ります。
ステップ 7.2.7
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 8
最終解はを真にするすべての値です。
、任意の整数
ステップ 9
ステップ 9.1
とをにまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.2
とをにまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.3
とをにまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.4
とをにまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.5
とをにまとめます。
、任意の整数
、任意の整数