三角関数 例

Решить относительно x cos(2x)-cos(6x)=0
ステップ 1
方程式の左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.1
2倍角の公式を利用してに変換します。
ステップ 1.1.2
で因数分解します。
ステップ 1.1.3
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.1
三角関数表現を利用してに変換します。
ステップ 1.1.3.2
に書き換えます。
ステップ 1.1.3.3
分配法則(FOIL法)を使ってを展開します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.3.1
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.3.2
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.3.3
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.4
簡約し、同類項をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1
各項を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1.1
積の可換性を利用して書き換えます。
ステップ 1.1.3.4.1.2
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1.2.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.4.1.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.2.3
をたし算します。
ステップ 1.1.3.4.1.3
をかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.4
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1.4.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.4.1.4.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1.4.2.1
乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.4.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.4.3
をたし算します。
ステップ 1.1.3.4.1.5
をかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.6
指数を足してを掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1.6.1
を移動させます。
ステップ 1.1.3.4.1.6.2
をかけます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1.6.2.1
乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.6.2.2
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.6.3
をたし算します。
ステップ 1.1.3.4.1.7
をかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.8
を掛けます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.4.1.8.1
をかけます。
ステップ 1.1.3.4.1.8.2
乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.8.3
乗します。
ステップ 1.1.3.4.1.8.4
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 1.1.3.4.1.8.5
をたし算します。
ステップ 1.1.3.4.2
からを引きます。
ステップ 1.1.3.5
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.3.6
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.3.6.1
をかけます。
ステップ 1.1.3.6.2
をかけます。
ステップ 1.1.3.6.3
をかけます。
ステップ 1.1.4
分配則を当てはめます。
ステップ 1.1.5
簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.1.5.1
をかけます。
ステップ 1.1.5.2
をかけます。
ステップ 1.1.5.3
をかけます。
ステップ 1.1.5.4
をかけます。
ステップ 1.2
項を加えて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1
の反対側の項を組み合わせます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 1.2.1.1
をたし算します。
ステップ 1.2.1.2
をたし算します。
ステップ 1.2.2
からを引きます。
ステップ 2
を因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1
で因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.1.1
で因数分解します。
ステップ 2.1.2
で因数分解します。
ステップ 2.1.3
で因数分解します。
ステップ 2.1.4
で因数分解します。
ステップ 2.1.5
で因数分解します。
ステップ 2.2
群による因数分解。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.1
項を並べ替えます。
ステップ 2.2.2
の形の多項式について、積がで和がである2項の和に中央の項を書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.2.1
で因数分解します。
ステップ 2.2.2.2
プラスに書き換える
ステップ 2.2.2.3
分配則を当てはめます。
ステップ 2.2.2.4
をかけます。
ステップ 2.2.3
各群から最大公約数を因数分解します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.2.3.1
前の2項と後ろの2項をまとめます。
ステップ 2.2.3.2
各群から最大公約数を因数分解します。
ステップ 2.2.4
最大公約数を因数分解して、多項式を因数分解します。
ステップ 2.3
に書き換えます。
ステップ 2.4
因数分解。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.1
因数分解。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 2.4.1.1
両項とも完全平方なので、平方の差の公式を利用して、因数分解します。このとき、であり、です。
ステップ 2.4.1.2
不要な括弧を削除します。
ステップ 2.4.2
不要な括弧を削除します。
ステップ 3
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 4
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.1
に等しいとします。
ステップ 4.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.1
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
ステップ 4.2.2
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.2.1
に書き換えます。
ステップ 4.2.2.2
正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。
ステップ 4.2.2.3
プラスマイナスです。
ステップ 4.2.3
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 4.2.4
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.4.1
の厳密値はです。
ステップ 4.2.5
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 4.2.6
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.6.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 4.2.6.2
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.6.2.1
をまとめます。
ステップ 4.2.6.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 4.2.6.3
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.6.3.1
をかけます。
ステップ 4.2.6.3.2
からを引きます。
ステップ 4.2.7
の周期を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 4.2.7.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 4.2.7.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 4.2.7.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 4.2.7.4
で割ります。
ステップ 4.2.8
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.1
に等しいとします。
ステップ 5.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 5.2.2
の各項をで割り、簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.2.1
の各項をで割ります。
ステップ 5.2.2.2
左辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.2.2.1
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.2.2.1.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.2.2.2.1.2
で割ります。
ステップ 5.2.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.2.3.1
2つの負の値を割ると正の値になります。
ステップ 5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
ステップ 5.2.4
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.4.1
に書き換えます。
ステップ 5.2.4.2
のいずれの根はです。
ステップ 5.2.4.3
をかけます。
ステップ 5.2.4.4
分母を組み合わせて簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.4.4.1
をかけます。
ステップ 5.2.4.4.2
乗します。
ステップ 5.2.4.4.3
乗します。
ステップ 5.2.4.4.4
べき乗則を利用して指数を組み合わせます。
ステップ 5.2.4.4.5
をたし算します。
ステップ 5.2.4.4.6
に書き換えます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.4.4.6.1
を利用し、に書き換えます。
ステップ 5.2.4.4.6.2
べき乗則を当てはめて、指数をかけ算します。
ステップ 5.2.4.4.6.3
をまとめます。
ステップ 5.2.4.4.6.4
の共通因数を約分します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.4.4.6.4.1
共通因数を約分します。
ステップ 5.2.4.4.6.4.2
式を書き換えます。
ステップ 5.2.4.4.6.5
指数を求めます。
ステップ 5.2.5
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.5.1
まず、の正の数を利用し、1番目の解を求めます。
ステップ 5.2.5.2
次に、の負の値を利用し。2番目の解を求めます。
ステップ 5.2.5.3
完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。
ステップ 5.2.6
各解を求め、を解きます。
ステップ 5.2.7
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.7.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 5.2.7.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.7.2.1
の厳密値はです。
ステップ 5.2.7.3
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 5.2.7.4
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.7.4.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 5.2.7.4.2
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.7.4.2.1
をまとめます。
ステップ 5.2.7.4.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.2.7.4.3
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.7.4.3.1
をかけます。
ステップ 5.2.7.4.3.2
からを引きます。
ステップ 5.2.7.5
の周期を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.7.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 5.2.7.5.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 5.2.7.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 5.2.7.5.4
で割ります。
ステップ 5.2.7.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5.2.8
について解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.8.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 5.2.8.2
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.8.2.1
の厳密値はです。
ステップ 5.2.8.3
余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第三象限で解を求めます。
ステップ 5.2.8.4
を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.8.4.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 5.2.8.4.2
分数をまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.8.4.2.1
をまとめます。
ステップ 5.2.8.4.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 5.2.8.4.3
分子を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.8.4.3.1
をかけます。
ステップ 5.2.8.4.3.2
からを引きます。
ステップ 5.2.8.5
の周期を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 5.2.8.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 5.2.8.5.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 5.2.8.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 5.2.8.5.4
で割ります。
ステップ 5.2.8.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5.2.9
すべての解をまとめます。
、任意の整数
ステップ 5.2.10
答えをまとめます。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 6
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.1
に等しいとします。
ステップ 6.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.1
方程式の両辺からを引きます。
ステップ 6.2.2
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 6.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.3.1
の厳密値はです。
ステップ 6.2.4
余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第三象限で解を求めます。
ステップ 6.2.5
からを引きます。
ステップ 6.2.6
の周期を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 6.2.6.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 6.2.6.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 6.2.6.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 6.2.6.4
で割ります。
ステップ 6.2.7
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 7
に等しくし、を解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.1
に等しいとします。
ステップ 7.2
についてを解きます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.1
方程式の両辺にを足します。
ステップ 7.2.2
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 7.2.3
右辺を簡約します。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.3.1
の厳密値はです。
ステップ 7.2.4
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 7.2.5
からを引きます。
ステップ 7.2.6
の周期を求めます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 7.2.6.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 7.2.6.2
周期の公式ので置き換えます。
ステップ 7.2.6.3
絶対値は数と0の間の距離です。の間の距離はです。
ステップ 7.2.6.4
で割ります。
ステップ 7.2.7
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 8
最終解はを真にするすべての値です。
、任意の整数
ステップ 9
答えをまとめます。
タップして手順をさらに表示してください…
ステップ 9.1
にまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.2
にまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.3
にまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.4
にまとめます。
、任意の整数
ステップ 9.5
にまとめます。
、任意の整数
、任意の整数