三角関数例

$\cos (3 x) = \cos (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $\cos (x)$ を引きます。

$\cos (3 x) - \cos (x) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

三角関数表現を利用して $\cos (3 x)$ を $4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x)$ に変換します。

$4 \cos^{3} (x) - 3 \cos (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$- 3 \cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 3

$4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ を因数分解します。

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ステップ 3.1

$4 \cos (x)$ を $4 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1.1

$4 \cos (x)$ を $4 \cos^{3} (x)$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) - 4 \cos (x) = 0$

ステップ 3.1.2

$4 \cos (x)$ を $- 4 \cos (x)$ で因数分解します。

$4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

ステップ 3.1.3

$4 \cos (x)$ を $4 \cos (x) \cos^{2} (x) + 4 \cos (x) \cdot - 1$ で因数分解します。

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

ステップ 3.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$4 \cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

ステップ 3.3

因数分解。

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ステップ 3.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = 1$ です。

$4 \cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

ステップ 3.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\cos (x) = - 1$

ステップ 6.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 6.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 6.2.4

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 6.2.5

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 6.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

$\cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について $\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 7.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 7.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 7.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 7.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

最終解は $4 \cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例