三角関数例

$\tan^{2} (x) \sin (x) = 3 \sin (x)$

ステップ 1

方程式の両辺から $3 \sin (x)$ を引きます。

$\tan^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.2

積の法則を $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cdot \sin (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.1

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3.2

指数を足して $\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.1.3.2.1

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

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ステップ 2.1.3.2.1.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sin (x)}^{2 + 1}}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.1.3.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sin^{3} (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$\sin^{2} (x)$ を $\sin^{3} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\sin^{2} (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cdot 1} - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.3

分数を分解します。

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.4

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を $\tan^{2} (x)$ に変換します。

$\frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan^{2} (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2.5

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) \tan^{2} (x) - 3 \sin (x) = 0$

ステップ 3

$\sin (x)$ を $\sin (x) \tan^{2} (x) - 3 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$\sin (x)$ を $- 3 \sin (x)$ で因数分解します。

$\sin (x) \tan^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 3 = 0$

ステップ 3.2

$\sin (x)$ を $\sin (x) \tan^{2} (x) + \sin (x) \cdot - 3$ で因数分解します。

$\sin (x) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\tan^{2} (x) - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\tan^{2} (x) - 3$ が $0$ に等しいとします。

$\tan^{2} (x) - 3 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\tan^{2} (x) - 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $3$ を足します。

$\tan^{2} (x) = 3$

ステップ 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

ステップ 6.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 6.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

ステップ 6.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 6.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 6.2.4

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 6.2.5

$\tan (x) = \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.2.5.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (\sqrt{3})$

ステップ 6.2.5.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.5.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.5.4

$π + \frac{π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.5.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.5.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.5.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.5.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

ステップ 6.2.5.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.5.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

ステップ 6.2.5.4.3.2

$3 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 6.2.5.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.5.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2.5.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.5.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.2.5.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.2.5.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.6

$\tan (x) = - \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.2.6.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

ステップ 6.2.6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.6.3

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{3} - π$

ステップ 6.2.6.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.2.6.4.1

$2 π$ に $- \frac{π}{3} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

ステップ 6.2.6.4.2

$\frac{2 π}{3}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{3} - π$ と隣接します。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.2.6.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.6.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2.6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.2.6.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.2.6.6

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.6.1

$π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + π$

ステップ 6.2.6.6.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.6.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.6.3.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.6.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.2.6.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.6.4.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 6.2.6.6.4.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 6.2.6.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.2.6.7

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.7

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.8

解をまとめます。

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ステップ 6.2.8.1

$\frac{4 π}{3} + π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.8.2

$\frac{2 π}{3} + π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $\sin (x) (\tan^{2} (x) - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

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ステップ 8.1

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

答えをまとめます。

$x = \frac{π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例