三角関数例

$3 \cot^{2} (x) - 9 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $9$ を足します。

$3 \cot^{2} (x) = 9$

ステップ 2

$3 \cot^{2} (x) = 9$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.1

$3 \cot^{2} (x) = 9$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{9}{3}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cot^{2} (x)}{3} = \frac{9}{3}$

ステップ 2.2.1.2

$\cot^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\cot^{2} (x) = \frac{9}{3}$

ステップ 2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1

$9$ を $3$ で割ります。

$\cot^{2} (x) = 3$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cot (x) = \pm \sqrt{3}$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\cot (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cot (x) = \sqrt{3}$

$\cot (x) = - \sqrt{3}$

ステップ 6

$\cot (x) = \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 6.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (\sqrt{3})$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$arccot (\sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 6.3

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{6}$

ステップ 6.4

$π + \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 6.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 6.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.4.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

ステップ 6.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

ステップ 6.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.4.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

ステップ 6.4.3.2

$6 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 6.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\cot (x) = - \sqrt{3}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (- \sqrt{3})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$arccot (- \sqrt{3})$ の厳密値は $\frac{5 π}{6}$ です。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 7.3

The cotangent function is negative in the second and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the reference angle from $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = \frac{5 π}{6} - π$

ステップ 7.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 7.4.1

$2 π$ に $\frac{5 π}{6} - π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{6} - π + 2 π$

ステップ 7.4.2

$\frac{11 π}{6}$ の結果の角度は正で $\frac{5 π}{6} - π$ と隣接します。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 7.5

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 7.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 7.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 7.6

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

解をまとめます。

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ステップ 9.1

$\frac{7 π}{6} + π n$ と $\frac{π}{6} + π n$ を $\frac{π}{6} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9.2

$\frac{11 π}{6} + π n$ と $\frac{5 π}{6} + π n$ を $\frac{5 π}{6} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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