三角関数例

$3 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 1

$u$ を $\sin (x)$ に代入します。

$3 {(u)}^{2} - (u) - 1 = 0$

ステップ 2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3

$a = 3$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.2.2

$- 12$ に $- 1$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.1.3

$1$ と $12$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 3}$

ステップ 4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{6}$

ステップ 5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

ステップ 6

$\sin (x)$ を $u$ に代入します。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}, \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

ステップ 7

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$

ステップ 8

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{13}}{6}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$\arcsin (\frac{1 + \sqrt{13}}{6})$ の値を求めます。

$x = 0.87507547$

ステップ 8.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

ステップ 8.4

$x$ について解きます。

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ステップ 8.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 - 0.87507547$

ステップ 8.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) - 0.87507547$

ステップ 8.4.3

$3.14159265$ から $0.87507547$ を引きます。

$x = 2.26651717$

ステップ 8.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{13}}{6}$ の $x$ について解きます。

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ステップ 9.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$

ステップ 9.2

右辺を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\arcsin (\frac{1 - \sqrt{13}}{6})$ の値を求めます。

$x = - 0.44921499$

ステップ 9.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

ステップ 9.4

$x$ について解きます。

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ステップ 9.4.1

括弧を削除します。

$x = 3.14159265 + 0.44921499$

ステップ 9.4.2

括弧を削除します。

$x = (3.14159265) + 0.44921499$

ステップ 9.4.3

$3.14159265$ と $0.44921499$ をたし算します。

$x = 3.59080764$

ステップ 9.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 9.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 9.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 9.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 9.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 9.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 9.6.1

$2 π$ を $- 0.44921499$ に足し、正の角を求めます。

$- 0.44921499 + 2 π$

ステップ 9.6.2

$2 π$ から $0.44921499$ を引きます。

$5.83397031$

ステップ 9.6.3

新しい角をリストします。

$x = 5.83397031$

ステップ 9.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

すべての解をまとめます。

$x = 0.87507547 + 2 π n, 2.26651717 + 2 π n, 3.59080764 + 2 π n, 5.83397031 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例