三角関数例

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) = \tan (x) + 1$

ステップ 1

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

方程式の両辺から $\tan (x)$ を引きます。

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) = 1$

ステップ 1.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \tan (x) \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$2 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.2

$2$ と $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \sin (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.3

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$\frac{2 \sin (x)}{\cos (x)}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.3.2

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.3.3

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.4

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{2 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

ステップ 2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$\sin (x)$ を $\sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (\sin (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

ステップ 2.2.2

分数を分解します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{2 (\sin (x))}{1} \cdot \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$2 (\sin (x))$ を $1$ で割ります。

$2 (\sin (x)) \tan (x) + 2 \sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - 1 = 0$

ステップ 2.2.5

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 3

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 \sin (x) \tan (x) + 2 \sin (x) - \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 3.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 \sin (x) (\tan (x) + 1) - (\tan (x) + 1) = 0$

ステップ 3.2

最大公約数 $\tan (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\tan (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 5

$\tan (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\tan (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) + 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\tan (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.4

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 5.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 5.2.5.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.6

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.7

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 5.2.7.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.7.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 5.2.7.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.7.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 5.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 5.2.8

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$2 \sin (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$2 \sin (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \sin (x) - 1 = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $2 \sin (x) - 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 \sin (x) = 1$

ステップ 6.2.2

$2 \sin (x) = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$2 \sin (x) = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 6.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 6.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 6.2.6

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 6.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 6.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 6.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.6.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 6.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 6.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $(\tan (x) + 1) (2 \sin (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例