三角関数例

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \cos (x)$ であり、 $b = \sin (x)$ です。

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 3

$\cos (x) + \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\cos (x) + \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

ステップ 3.2

$x$ について $\cos (x) + \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.4

分数を分解します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.2.5

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 3.2.6

$0$ を $1$ で割ります。

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 3.2.7

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 + \tan (x) = 0$

ステップ 3.2.8

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 3.2.9

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 3.2.10

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.10.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.11

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 3.2.12

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.12.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 3.2.12.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.2.13

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.13.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.2.13.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.2.13.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.2.13.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.2.14

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.14.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 3.2.14.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.14.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.14.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 3.2.14.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 3.2.14.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.14.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 3.2.14.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 3.2.14.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.2.15

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$\cos (x) - \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\cos (x) - \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\cos (x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4.2.3

分数を分解します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4.2.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 4.2.6

分数を分解します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 4.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 4.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 4.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 - \tan (x) = 0$

ステップ 4.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 4.2.11

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.2.11.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.2.11.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.11.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 4.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 4.2.13

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.13.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.14

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.15

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.15.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.15.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.15.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 4.2.15.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 4.2.15.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.15.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 4.2.15.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 4.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 4.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 4.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 4.2.17

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

最終解は $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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