三角関数例

$\log_{b} (64) = 3$

ステップ 1

対数の定義を利用して $\log_{b} (64) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$b^{3} = 64$

ステップ 2

$b$ について解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $64$ を引きます。

$b^{3} - 64 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$64$ を $4^{3}$ に書き換えます。

$b^{3} - 4^{3} = 0$

ステップ 2.2.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = b$ であり、 $b = 4$ です。

$(b - 4) (b^{2} + b \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$4$ を $b$ の左に移動させます。

$(b - 4) (b^{2} + 4 b + 4^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3.2

$4$ を $2$ 乗します。

$(b - 4) (b^{2} + 4 b + 16) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$b - 4 = 0$

$b^{2} + 4 b + 16 = 0$

ステップ 2.4

$b - 4$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$b - 4$ が $0$ に等しいとします。

$b - 4 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$b = 4$

ステップ 2.5

$b^{2} + 4 b + 16$ を $0$ に等しくし、 $b$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$b^{2} + 4 b + 16$ が $0$ に等しいとします。

$b^{2} + 4 b + 16 = 0$

ステップ 2.5.2

$b$ について $b^{2} + 4 b + 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.5.2.2

$a = 1$ 、 $b = 4$ 、および $c = 16$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $b$ の値を求めます。

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3

簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 16$ を掛けます。

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ステップ 2.5.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.2.2

$- 4$ に $16$ をかけます。

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.3

$16$ から $64$ を引きます。

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.4

$- 48$ を $- 1 (48)$ に書き換えます。

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.5

$\sqrt{- 1 (48)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ に書き換えます。

$b = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.6

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.2.3.1.7.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.7.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.8

累乗根の下から項を取り出します。

$b = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.1.9

$4$ を $i$ の左に移動させます。

$b = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.5.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$b = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

ステップ 2.5.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ を簡約します。

$b = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

ステップ 2.5.2.4

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$b = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

ステップ 2.6

最終解は $(b - 4) (b^{2} + 4 b + 16) = 0$ を真にするすべての値です。

$b = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

三角関数 例

三角関数例