三角関数例

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} = 4$

ステップ 1

両辺に $e^{x} - e^{- x}$ を掛けます。

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

左辺を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$e^{x} - e^{- x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 4 (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 2.1.1.2

式を書き換えます。

$1 = 4 (e^{x} - e^{- x})$

ステップ 2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4 (e^{x} - e^{- x})$ を簡約します。

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ステップ 2.2.1.1

分配則を当てはめます。

$1 = 4 e^{x} + 4 (- e^{- x})$

ステップ 2.2.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$1 = 4 e^{x} - 4 e^{- x}$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$ として書き換えます。

$4 e^{x} - 4 e^{- x} = 1$

ステップ 3.2

$e^{- x}$ を累乗法として書き換えます。

$4 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{- 1} = 1$

ステップ 3.3

$u$ を $e^{x}$ に代入します。

$4 u - 4 u^{- 1} = 1$

ステップ 3.4

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$4 u - 4 \frac{1}{u} = 1$

ステップ 3.4.2

$- 4$ と $\frac{1}{u}$ をまとめます。

$4 u + \frac{- 4}{u} = 1$

ステップ 3.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$4 u - \frac{4}{u} = 1$

ステップ 3.5

$u$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 3.5.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$1, u, 1$

ステップ 3.5.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$u$

ステップ 3.5.2

$4 u - \frac{4}{u} = 1$ の各項に $u$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 3.5.2.1

$4 u - \frac{4}{u} = 1$ の各項に $u$ を掛けます。

$4 u \cdot u - \frac{4}{u} u = 1 u$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

指数を足して $u$ に $u$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.2.1.1.1

$u$ を移動させます。

$4 (u \cdot u) - \frac{4}{u} u = 1 u$

ステップ 3.5.2.2.1.1.2

$u$ に $u$ をかけます。

$4 u^{2} - \frac{4}{u} u = 1 u$

ステップ 3.5.2.2.1.2

$u$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.2.1

$- \frac{4}{u}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

ステップ 3.5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$4 u^{2} + \frac{- 4}{u} u = 1 u$

ステップ 3.5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$4 u^{2} - 4 = 1 u$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$u$ に $1$ をかけます。

$4 u^{2} - 4 = u$

ステップ 3.5.3

方程式を解きます。

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ステップ 3.5.3.1

方程式の両辺から $u$ を引きます。

$4 u^{2} - 4 - u = 0$

ステップ 3.5.3.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 3.5.3.3

$a = 4$ 、 $b = - 1$ 、および $c = - 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $u$ の値を求めます。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 4)}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3.4

簡約します。

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ステップ 3.5.3.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.3.4.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3.4.1.2

$- 4 \cdot 4 \cdot - 4$ を掛けます。

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ステップ 3.5.3.4.1.2.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 16 \cdot - 4}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3.4.1.2.2

$- 16$ に $- 4$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 64}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3.4.1.3

$1$ と $64$ をたし算します。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{2 \cdot 4}$

ステップ 3.5.3.4.2

$2$ に $4$ をかけます。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{65}}{8}$

ステップ 3.5.3.5

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$u = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}, \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

ステップ 3.6

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

ステップ 3.7

$\frac{1 + \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

方程式を $e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{1 + \sqrt{65}}{8}$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

ステップ 3.7.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.7.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

ステップ 3.7.3.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

ステップ 3.7.3.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

ステップ 3.8

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ を $u = e^{x}$ の中の $u$ に代入します。

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$

ステップ 3.9

$\frac{1 - \sqrt{65}}{8} = e^{x}$ を解きます。

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ステップ 3.9.1

方程式を $e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ として書き換えます。

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$

ステップ 3.9.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$

ステップ 3.9.3

$\ln (\frac{1 - \sqrt{65}}{8})$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.9.4

$e^{x} = \frac{1 - \sqrt{65}}{8}$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.10

方程式が真になるような解をリストします。

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (\frac{1 + \sqrt{65}}{8})$

10進法形式：

$x = 0.12467674 \dots$

三角関数 例

三角関数例