三角関数例

$3 \sin (2 x) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$3 (2 \sin (x) \cos (x)) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$6 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 2

$2 \sin (x)$ を $6 \sin (x) \cos (x) - 4 \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.1

$2 \sin (x)$ を $6 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (3 \cos (x)) - 4 \sin (x) = 0$

ステップ 2.2

$2 \sin (x)$ を $- 4 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (3 \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 2 = 0$

ステップ 2.3

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) (3 \cos (x)) + 2 \sin (x) \cdot - 2$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (3 \cos (x) - 2) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$3 \cos (x) - 2 = 0$

ステップ 4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$3 \cos (x) - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$3 \cos (x) - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 \cos (x) - 2 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $3 \cos (x) - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 \cos (x) = 2$

ステップ 5.2.2

$3 \cos (x) = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 \cos (x) = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cos (x)}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{2}{3}$

ステップ 5.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (\frac{2}{3})$

ステップ 5.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$\arccos (\frac{2}{3})$ の値を求めます。

$x = 0.84106867$

ステップ 5.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 (3.14159265) - 0.84106867$

ステップ 5.2.6

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.6.1

括弧を削除します。

$x = 2 (3.14159265) - 0.84106867$

ステップ 5.2.6.2

$2 (3.14159265) - 0.84106867$ を簡約します。

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ステップ 5.2.6.2.1

$2$ に $3.14159265$ をかけます。

$x = 6.2831853 - 0.84106867$

ステップ 5.2.6.2.2

$6.2831853$ から $0.84106867$ を引きます。

$x = 5.44211663$

ステップ 5.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 0.84106867 + 2 π n, 5.44211663 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $2 \sin (x) (3 \cos (x) - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, 0.84106867 + 2 π n, 5.44211663 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, 0.84106867 + 2 π n, 5.44211663 + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例