三角関数例

3 {sec}^{2} (x) - 4 = 0

$3 \sec^{2} (x) - 4 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に

4

$4$ を足します。

3 {sec}^{2} (x) = 4

$3 \sec^{2} (x) = 4$

ステップ 2

3 {sec}^{2} (x) = 4

$3 \sec^{2} (x) = 4$ の各項を

3

$3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

3 {sec}^{2} (x) = 4

$3 \sec^{2} (x) = 4$ の各項を

3

$3$ で割ります。

\frac{3 {sec}^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}

$\frac{3 \sec^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 \sec^{2} (x)}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 2.2.1.2

$\sec^{2} (x)$ を

$1$ で割ります。

$\sec^{2} (x) = \frac{4}{3}$

ステップ 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 4

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を

$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$4$ を

$2^{2}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\sec (x) = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 4.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 4.4.2

$\sqrt{3}$ を

$1$ 乗します。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 4.4.3

$\sqrt{3}$ を

$1$ 乗します。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 4.4.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.4.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 4.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を

$3$ に書き換えます。

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ステップ 4.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{3}$ を

$3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.4.6.4.2

式を書き換えます。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 4.4.6.5

指数を求めます。

$\sec (x) = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 5.1

まず、

$\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.2

次に、

$\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 6

各解を求め、

$x$ を解きます。

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 7

$\sec (x) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ の

$x$ について解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から

$x$ を取り出します。

$x = arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$arcsec (\frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は

$\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 7.3

正割関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

ステップ 7.4

$2 π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

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ステップ 7.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.1

$2 π$ と

$\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 7.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.3.1

$6$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - π}{6}$

ステップ 7.4.3.2

$12 π$ から

$π$ を引きます。

$x = \frac{11 π}{6}$

ステップ 7.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 7.5.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 7.6

$\sec (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 8

$\sec (x) = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ の

$x$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式の両辺の逆正割をとり、正割の中から

$x$ を取り出します。

$x = arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$

ステップ 8.2

右辺を簡約します。

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ステップ 8.2.1

$arcsec (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ の厳密値は

$\frac{5 π}{6}$ です。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.3

正割関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.4

$2 π - \frac{5 π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.2.1

$2 π$ と

$\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

ステップ 8.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

ステップ 8.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.4.3.1

$6$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

ステップ 8.4.3.2

$12 π$ から

$5 π$ を引きます。

$x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 8.5

$\sec (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.5.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 8.5.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 8.5.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 8.6

$\sec (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 10

解をまとめます。

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ステップ 10.1

$\frac{7 π}{6} + 2 π n$ と

$\frac{π}{6} + π n$ を

$\frac{π}{6} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 10.2

$\frac{5 π}{6} + 2 π n$ と

$\frac{5 π}{6} + π n$ を

$\frac{11 π}{6} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ 、任意の整数

$n$

三角関数 例

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