三角関数例

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{1 - \cos (x)} = - \cos (x)$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $- \sin^{2} (x)$ を $- (1 - \cos^{2} (x))$ で置き換えます。

$1 - (1 - \cos^{2} (x)) = - \cos (x)$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$1 - 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

ステップ 2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

ステップ 2.3

$- - \cos^{2} (x)$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 - 1 + 1 \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

ステップ 2.3.2

$\cos^{2} (x)$ に $1$ をかけます。

$1 - 1 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

ステップ 3

数を引いて簡約します。

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ステップ 3.1

$1$ から $1$ を引きます。

$0 + \cos^{2} (x) = - \cos (x)$

ステップ 3.2

$0$ と $\cos^{2} (x)$ をたし算します。

$\cos^{2} (x) = - \cos (x)$

ステップ 4

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

${(u)}^{2} = - (u)$

ステップ 5

方程式の両辺に $u$ を足します。

$u^{2} + u = 0$

ステップ 6

$u$ を $u^{2} + u$ で因数分解します。

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ステップ 6.1

$u$ を $u^{2}$ で因数分解します。

$u \cdot u + u = 0$

ステップ 6.2

$u$ を $1$ 乗します。

$u \cdot u + u = 0$

ステップ 6.3

$u$ を $u^{1}$ で因数分解します。

$u \cdot u + u \cdot 1 = 0$

ステップ 6.4

$u$ を $u \cdot u + u \cdot 1$ で因数分解します。

$u (u + 1) = 0$

ステップ 7

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u = 0$

$u + 1 = 0$

ステップ 8

$u$ が $0$ に等しいとします。

$u = 0$

ステップ 9

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 9.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 9.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 10

最終解は $u (u + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = 0, - 1$

ステップ 11

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = 0, - 1$

ステップ 12

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = 0$

$\cos (x) = - 1$

ステップ 13

$\cos (x) = 0$ の $x$ について解きます。

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ステップ 13.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 13.2

右辺を簡約します。

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ステップ 13.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 13.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 13.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 13.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 13.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 13.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 13.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 13.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 13.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 13.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 13.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 13.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 13.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 13.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 13.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 13.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 14

$\cos (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 14.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 14.2

右辺を簡約します。

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ステップ 14.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 14.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 14.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 14.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 14.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 14.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 14.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 14.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 14.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 15

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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