三角関数例

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (- x) - 1)$

ステップ 1

右辺を簡約します。

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ステップ 1.1

$7 (\cos (- x) - 1)$ を簡約します。

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ステップ 1.1.1

$\cos (- x)$ が偶関数なので、 $\cos (- x)$ を $\cos (x)$ に書き換えます。

$\sin^{2} (x) = 7 (\cos (x) - 1)$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) + 7 \cdot - 1$

ステップ 1.1.3

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\sin^{2} (x) = 7 \cos (x) - 7$

ステップ 2

すべての式を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $7 \cos (x)$ を引きます。

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) = - 7$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $7$ を足します。

$\sin^{2} (x) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

ステップ 3

$\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$(1 - \cos^{2} (x)) - 7 \cos (x) + 7 = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$1$ と $7$ をたし算します。

$8 - \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) = 0$

ステップ 4.2

群による因数分解。

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ステップ 4.2.1

項を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 8 = - 8$ で和が $b = - 7$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 4.2.2.1

$- 7$ を $- 7 \cos (x)$ で因数分解します。

$- \cos^{2} (x) - 7 \cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.2.2.2

$- 7$ を $1$ プラス $- 8$ に書き換える

$- \cos^{2} (x) + (1 - 8) \cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.2.2.3

分配則を当てはめます。

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.2.2.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 4.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) - 8 \cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) + 8 (- \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 4.2.4

最大公約数 $- \cos (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$

ステップ 4.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.4

$- \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$- \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 4.4.2

$x$ について $- \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \cos (x) = - 1$

ステップ 4.4.2.2

$- \cos (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.1

$- \cos (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2.2.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 4.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\cos (x) = 1$

ステップ 4.4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 4.4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.4.2.4.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.4.2.5

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 4.4.2.6

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 4.4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4.5

$\cos (x) + 8$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.5.1

$\cos (x) + 8$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) + 8 = 0$

ステップ 4.5.2

$x$ について $\cos (x) + 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.5.2.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$\cos (x) = - 8$

ステップ 4.5.2.2

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 8$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 4.6

最終解は $(- \cos (x) + 1) (\cos (x) + 8) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

答えをまとめます。

$x = 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例