三角関数例

$\sin^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

ステップ 1

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式に基づいて $\sin^{2} (x)$ を $1 - \cos^{2} (x)$ で置き換えます。

$1 - \cos^{2} (x) = 5 (\cos (x) + 1)$

ステップ 2

多項式を並べ替えます。

$- \cos^{2} (x) + 1 = 5 (\cos (x) + 1)$

ステップ 3

$u$ を $\cos (x)$ に代入します。

$- {(u)}^{2} + 1 = 5 ((u) + 1)$

ステップ 4

$5 (u + 1)$ を簡約します。

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ステップ 4.1

書き換えます。

$- u^{2} + 1 = 0 + 0 + 5 (u + 1)$

ステップ 4.2

0を加えて簡約します。

$- u^{2} + 1 = 5 (u + 1)$

ステップ 4.3

分配則を当てはめます。

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5 \cdot 1$

ステップ 4.4

$5$ に $1$ をかけます。

$- u^{2} + 1 = 5 u + 5$

ステップ 5

方程式の両辺から $5 u$ を引きます。

$- u^{2} + 1 - 5 u = 5$

ステップ 6

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$- u^{2} + 1 - 5 u - 5 = 0$

ステップ 7

$1$ から $5$ を引きます。

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

ステップ 8

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 8.1

$- 1$ を $- u^{2} - 5 u - 4$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.1

$- 1$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$- u^{2} - 5 u - 4 = 0$

ステップ 8.1.2

$- 1$ を $- 5 u$ で因数分解します。

$- u^{2} - (5 u) - 4 = 0$

ステップ 8.1.3

$- 4$ を $- 1 (4)$ に書き換えます。

$- u^{2} - (5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

ステップ 8.1.4

$- 1$ を $- u^{2} - (5 u)$ で因数分解します。

$- (u^{2} + 5 u) - 1 \cdot 4 = 0$

ステップ 8.1.5

$- 1$ を $- (u^{2} + 5 u) - 1 (4)$ で因数分解します。

$- (u^{2} + 5 u + 4) = 0$

ステップ 8.2

因数分解。

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ステップ 8.2.1

たすき掛けを利用して $u^{2} + 5 u + 4$ を因数分解します。

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ステップ 8.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $4$ で、その和が $5$ です。

$1, 4$

ステップ 8.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$- ((u + 1) (u + 4)) = 0$

ステップ 8.2.2

不要な括弧を削除します。

$- (u + 1) (u + 4) = 0$

ステップ 9

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$u + 1 = 0$

$u + 4 = 0$

ステップ 10

$u + 1$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 10.1

$u + 1$ が $0$ に等しいとします。

$u + 1 = 0$

ステップ 10.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$u = - 1$

ステップ 11

$u + 4$ を $0$ に等しくし、 $u$ を解きます。

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ステップ 11.1

$u + 4$ が $0$ に等しいとします。

$u + 4 = 0$

ステップ 11.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$u = - 4$

ステップ 12

最終解は $- (u + 1) (u + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$u = - 1, - 4$

ステップ 13

$\cos (x)$ を $u$ に代入します。

$\cos (x) = - 1, - 4$

ステップ 14

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\cos (x) = - 1$

$\cos (x) = - 4$

ステップ 15

$\cos (x) = - 1$ の $x$ について解きます。

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ステップ 15.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- 1)$

ステップ 15.2

右辺を簡約します。

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ステップ 15.2.1

$\arccos (- 1)$ の厳密値は $π$ です。

$x = π$

ステップ 15.3

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - π$

ステップ 15.4

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = π$

ステップ 15.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 15.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 15.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 15.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 15.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 15.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 16

$\cos (x) = - 4$ の $x$ について解きます。

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ステップ 16.1

余弦の値域は $- 1 \leq y \leq 1$ です。 $- 4$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 17

すべての解をまとめます。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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