三角関数例

$(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(\cot (x) - 1) (\csc (x) + 1)$ を展開します。

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ステップ 1.1.1

分配則を当てはめます。

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

ステップ 1.1.2

分配則を当てはめます。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 (\csc (x) + 1) = 0$

ステップ 1.1.3

分配則を当てはめます。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) \cdot 1 - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.1

$\cot (x)$ に $1$ をかけます。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - 1 \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.2.2

$- 1 \csc (x)$ を $- \csc (x)$ に書き換えます。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 \cdot 1 = 0$

ステップ 1.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

ステップ 2

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1$ を因数分解します。

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ステップ 2.1

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\cot (x) \csc (x) + \cot (x) - \csc (x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cot (x) (\csc (x) + 1) - (\csc (x) + 1) = 0$

ステップ 2.2

最大公約数 $\csc (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\csc (x) + 1 = 0$

$\cot (x) - 1 = 0$

ステップ 4

$\csc (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$\csc (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\csc (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\csc (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\csc (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の逆余割をとり、余割の中から $x$ を取り出します。

$x = arccsc (- 1)$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$arccsc (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.4

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 4.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 4.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 4.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.6

$\csc (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 4.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 4.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 4.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 4.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 4.2.8

$\csc (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\cot (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cot (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cot (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cot (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cot (x) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $x$ を取り出します。

$x = arccot (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$arccot (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.4

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.5.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 5.2.5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 5.2.5.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 5.2.5.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 5.2.6

$\cot (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 5.2.7

$\cot (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

最終解は $(\csc (x) + 1) (\cot (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例