三角関数例

$\sin (4 x) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ を $4 x$ で因数分解します。

$\sin (2 (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.2

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 (2 \sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (\sin (x) \cos (x)) \cos (2 x) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.4

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$4 \sin (x) \cos (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.5

分配則を当てはめます。

$4 \sin (x) \cos (x) \cdot 1 + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.6

$4$ に $1$ をかけます。

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin (x) \cos (x) (- 2 \sin^{2} (x)) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.7

指数を足して $\sin (x)$ に $\sin^{2} (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$\sin^{2} (x)$ を移動させます。

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.7.2

$\sin^{2} (x)$ に $\sin (x)$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.2.1

$\sin (x)$ を $1$ 乗します。

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.7.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 {\sin (x)}^{2 + 1} \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.7.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$4 \sin (x) \cos (x) + 4 \sin^{3} (x) \cos (x) \cdot - 2 + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.8

$- 2$ に $4$ をかけます。

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.1.9

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$4 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

ステップ 1.2

$4 \sin (x) \cos (x)$ と $2 \sin (x) \cos (x)$ をたし算します。

$6 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 2

$2 \sin (x) \cos (x)$ を $6 \sin (x) \cos (x) - 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ を $6 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 - 8 \sin^{3} (x) \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$2 \sin (x) \cos (x)$ を $- 8 \sin^{3} (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 2.3

$2 \sin (x) \cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) \cdot 3 + 2 \sin (x) \cos (x) (- 4 \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) = 0$

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 4

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 4.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 4.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 4.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 4.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 5

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 5.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 5.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 5.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$3 - 4 \sin^{2} (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$3 - 4 \sin^{2} (x)$ が $0$ に等しいとします。

$3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $3 - 4 \sin^{2} (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$

ステップ 6.2.2

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$- 4 \sin^{2} (x) = - 3$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 6.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 6.2.2.2.1.2

$\sin^{2} (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

ステップ 6.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

ステップ 6.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

ステップ 6.2.4

$\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.4.1

$\sqrt{\frac{3}{4}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

ステップ 6.2.4.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 6.2.4.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.6

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 6.2.7

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 6.2.7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.2.1

$\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{3}$ です。

$x = \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.7.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.7.4

$π - \frac{π}{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.4.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.7.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.4.2.1

$π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.7.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.2.7.4.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.4.3.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

ステップ 6.2.7.4.3.2

$3 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 6.2.7.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.7.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.7.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.7.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.7.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.7.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.8

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 6.2.8.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.2.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{3}$ です。

$x = - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.8.3

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

ステップ 6.2.8.4

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.2.8.4.1

$2 π + \frac{π}{3} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

ステップ 6.2.8.4.2

$\frac{4 π}{3}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{3} + π$ と隣接します。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 6.2.8.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2.8.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.8.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 6.2.8.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 6.2.8.6

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.6.1

$2 π$ を $- \frac{π}{3}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

ステップ 6.2.8.6.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.8.6.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.6.3.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

ステップ 6.2.8.6.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

ステップ 6.2.8.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.8.6.4.1

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 π - π}{3}$

ステップ 6.2.8.6.4.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{5 π}{3}$

ステップ 6.2.8.6.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{5 π}{3}$

ステップ 6.2.8.7

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.9

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.10

解をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.10.1

$\frac{4 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{π}{3} + π n$ を $\frac{π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6.2.10.2

$\frac{5 π}{3} + 2 π n$ と $\frac{2 π}{3} + π n$ を $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ にまとめます。

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $2 \sin (x) \cos (x) (3 - 4 \sin^{2} (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ と $\frac{π}{2} + π n$ を $\frac{π}{2} + 2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.3

$\frac{π}{2} + π n$ と $\frac{π n}{2}$ を $π n$ にまとめます。

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例