三角関数例

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = - 1$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \arctan (- 1)$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4}$

ステップ 3

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{- π - π}{4}$

ステップ 3.3

$- π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{- 2 π}{4}$

ステップ 3.4

$- 2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.1

$2$ を $- 2 π$ で因数分解します。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{4}$

ステップ 3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 (2)}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (- π)}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} = \frac{- π}{2}$

ステップ 3.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{2}$

ステップ 4

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = - π$

ステップ 5

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 6

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 6.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 6.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4}$

ステップ 6.3

$x$ について解きます。

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ステップ 6.3.1

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 6.3.1.1

方程式の両辺から $\frac{π}{4}$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 6.3.1.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π - π}{4}$

ステップ 6.3.1.3

$3 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{4}$

ステップ 6.3.1.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{x}{2} = \frac{2 (π)}{4}$

ステップ 6.3.1.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.3.1.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.1.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.3.1.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

ステップ 6.3.2

方程式の各辺にある式に同じ分母があるので、分子は等しくなければなりません。

$x = π$

ステップ 7

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ の周期を求めます。

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ステップ 7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 7.2

周期の公式の $b$ を $\frac{1}{2}$ で置き換えます。

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

ステップ 7.3

$\frac{1}{2}$ は約 $0.5$ 。正の数なので絶対値を削除します

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

ステップ 7.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$π \cdot 2$

ステップ 7.5

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$2 π$

ステップ 8

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 8.1

$2 π$ を $- π$ に足し、正の角を求めます。

$- π + 2 π$

ステップ 8.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$π$

ステップ 8.3

新しい角をリストします。

$x = π$

ステップ 9

$\tan (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π + 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 10

答えをまとめます。

$x = π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例