三角関数例

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 1

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

ステップ 2

$- \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.1

$\frac{1 + \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ に $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

ステップ 3.2

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ に $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ をかけます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 3.3

$(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} - \frac{(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(1 + \cos (x)) (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

$1 + \cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1} (1 + \cos (x)) - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.2

$1 + \cos (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1} {(1 + \cos (x))}^{1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{1 + 1} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{2} - (1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.5

$(1 - \cos (x)) (1 - \cos (x))$ を ${(1 - \cos (x))}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(1 + \cos (x))}^{2} - {(1 - \cos (x))}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.6

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1 + \cos (x)$ であり、 $b = 1 - \cos (x)$ です。

$\frac{(1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7

簡約します。

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ステップ 5.7.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(2 + \cos (x) - \cos (x)) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.2

$\cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{(2 + 0) (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.3

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 (1 + \cos (x) - (1 - \cos (x)))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.4

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 - - \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.6

$- - \cos (x)$ を掛けます。

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ステップ 5.7.6.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 + 1 \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.6.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (1 + \cos (x) - 1 + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.7

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{2 (0 + \cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.8

$0$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{2 (\cos (x) + \cos (x))}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.9

$\cos (x)$ と $\cos (x)$ をたし算します。

$\frac{2 \cdot 2 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

ステップ 5.7.10

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

三角関数 例

三角関数例