三角関数例

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 2

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 3

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ を ${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$ に書き換えます。

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

ステップ 4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{\cos (x)}$ であり、 $b = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ です。

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$(\sec (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.1.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.2

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)})$

ステップ 5.2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$

ステップ 6

分配法則（FOIL法）を使って $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ を展開します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))$

ステップ 6.3

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7

項を簡約します。

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ステップ 7.1

$\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 7.1.1

$\sec (x) (- \tan (x))$ と $\tan (x) \sec (x)$ について因数を並べ替えます。

$\sec (x) \sec (x) - \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7.1.2

$- \sec (x) \tan (x)$ と $\sec (x) \tan (x)$ をたし算します。

$\sec (x) \sec (x) + 0 + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7.1.3

$\sec (x) \sec (x)$ と $0$ をたし算します。

$\sec (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7.2

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$\sec (x) \sec (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7.2.1.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7.2.1.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${\sec (x)}^{1 + 1} + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (x) + \tan (x) (- \tan (x))$

ステップ 7.2.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\sec^{2} (x) - \tan (x) \tan (x)$

ステップ 7.2.3

$- \tan (x) \tan (x)$ を掛けます。

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ステップ 7.2.3.1

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x))$

ステップ 7.2.3.2

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x))$

ステップ 7.2.3.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1}$

ステップ 7.2.3.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

ステップ 8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$1$

三角関数 例

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