三角関数例

$\frac{\tan (112.5)}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

ステップ 1

$\tan (112.5)$ の値を求めます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (112.5)}$

ステップ 2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\tan (112.5)$ の厳密値は $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $112.5$ を書き直します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - \tan^{2} (\frac{225}{2})}$

ステップ 2.1.2

正切半角の公式を当てはめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (225)}{1 + \cos (225)}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.2

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (225)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.6

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.7

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.10

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.11

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.11.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.11.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.12

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.13

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.14

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.15

簡約します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.16

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.17

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.17.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.17.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.18

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.1

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.4.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.5

$2 \sqrt{2} + 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.5.1

$2$ を $2 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.5.2

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.5.3

$2$ を $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.5.4

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.19.5.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.19.5.4.4

$\sqrt{2} + 1$ を $1$ で割ります。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.20

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}})}^{2}}$

ステップ 2.1.4.21

$\sqrt{2}$ と $\sqrt{2}$ をたし算します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}^{2}}$

ステップ 2.2

積の法則を $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ に当てはめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2})}$

ステップ 2.3

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

ステップ 2.3.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

ステップ 2.3.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 2.41421356}{1 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 1$ を $3$ 乗します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

ステップ 2.5

${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ を $3 + 2 \sqrt{2}$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ を ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

ステップ 2.5.5

簡約します。

$\frac{- 2.41421356}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

ステップ 2.6

分配則を当てはめます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

ステップ 2.7

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

ステップ 2.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- 2.41421356}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 2.9

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 3

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 4

$\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ に $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ をかけます。

$- (\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}})$

ステップ 5

$\frac{2.41421356}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$ に $\frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{(- 2 - 2 \sqrt{2}) (- 2 + 2 \sqrt{2})}$

ステップ 6

FOIL法を使って分母を展開します。

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{4 - 4 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

ステップ 7

簡約します。

$- \frac{2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 4}$

ステップ 8

$- 2 + 2 \sqrt{2}$ と $- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$2$ を $2.41421356 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 4}$

ステップ 8.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ を $- 4$ で因数分解します。

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

ステップ 8.2.2

共通因数を約分します。

$- \frac{2 (1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{2 \cdot - 2}$

ステップ 8.2.3

式を書き換えます。

$- \frac{1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 2}$

ステップ 9

$- 2 + 2 \sqrt{2}$ と $- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

$2$ を $1.20710678 (- 2 + 2 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$- \frac{2 (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))}{- 2}$

ステップ 9.2

$\frac{0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- (- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2})))$

ステップ 10

$- 1 \cdot (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ を $- (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$ に書き換えます。

$- - (0.60355339 (- 2 + 2 \sqrt{2}))$

ステップ 11

$0.60355339$ に $- 2 + 2 \sqrt{2}$ をかけます。

$- (- 1 \cdot 0.5)$

ステップ 12

$- (- 1 \cdot 0.5)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 12.1

$- 1$ に $0.5$ をかけます。

$- - 0.5$

ステップ 12.2

$- 1$ に $- 0.5$ をかけます。

$0.5$

三角関数 例

三角関数例