三角関数例

$\sin^{2} (4 x) - 1 = 0$

ステップ 1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\sin^{2} (4 x) = 1$

ステップ 2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$\sin (4 x) = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$\sin (4 x) = \pm 1$

ステップ 4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$\sin (4 x) = 1$

ステップ 4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$\sin (4 x) = - 1$

ステップ 4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$\sin (4 x) = 1, - 1$

ステップ 5

各解を求め、 $x$ を解きます。

$\sin (4 x) = 1$

$\sin (4 x) = - 1$

ステップ 6

$\sin (4 x) = 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x = \arcsin (1)$

ステップ 6.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$4 x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.3

$4 x = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

$4 x = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 6.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 6.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 6.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 6.3.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.3.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 6.4

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$4 x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 6.5

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$4 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.5.1.2

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$4 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 6.5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$4 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 6.5.1.4

$π \cdot 2$ から $π$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.1.4.1

$π$ と $2$ を並べ替えます。

$4 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 6.5.1.4.2

$2 \cdot π$ から $π$ を引きます。

$4 x = \frac{π}{2}$

ステップ 6.5.2

$4 x = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.1

$4 x = \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 6.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 6.5.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{4}$

ステップ 6.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 6.5.2.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.5.2.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 4}$

ステップ 6.5.2.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{π}{8}$

ステップ 6.6

$\sin (4 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.6.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 6.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 6.6.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 6.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.6.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 6.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 6.7

$\sin (4 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

$\sin (4 x) = - 1$ の $x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$4 x = \arcsin (- 1)$

ステップ 7.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$4 x = - \frac{π}{2}$

ステップ 7.3

$4 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.1

$4 x = - \frac{π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

ステップ 7.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{4}$

ステップ 7.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 7.3.3.2

$- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.3.2.1

$\frac{1}{4}$ に $\frac{π}{2}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{4 \cdot 2}$

ステップ 7.3.3.2.2

$4$ に $2$ をかけます。

$x = - \frac{π}{8}$

ステップ 7.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 7.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$4 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 7.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$4 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 7.5.3

$4 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.1

$4 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

ステップ 7.5.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

ステップ 7.5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{4}$

ステップ 7.5.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 7.5.3.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{4}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.3.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 4}$

ステップ 7.5.3.3.2.2

$2$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 7.6

$\sin (4 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 7.6.2

周期の公式の $b$ を $4$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 4 |}$

ステップ 7.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $4$ の間の距離は $4$ です。

$\frac{2 π}{4}$

ステップ 7.6.4

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.4.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 (π)}{4}$

ステップ 7.6.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.6.4.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 7.6.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{π}{2}$

ステップ 7.7

$\frac{π}{2}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.1

$\frac{π}{2}$ を $- \frac{π}{8}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{8} + \frac{π}{2}$

ステップ 7.7.2

$\frac{π}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{π}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{8}$

ステップ 7.7.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $8$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.3.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{π \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π}{8}$

ステップ 7.7.3.2

$2$ に $4$ をかけます。

$\frac{π \cdot 4}{8} - \frac{π}{8}$

ステップ 7.7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{8}$

ステップ 7.7.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.7.5.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{8}$

ステップ 7.7.5.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{8}$

ステップ 7.7.6

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{8}$

ステップ 7.8

$\sin (4 x)$ 関数の周期が $\frac{π}{2}$ なので、両方向で $\frac{π}{2}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

すべての解をまとめます。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}, \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{8} + \frac{π n}{4}$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

三角関数例