三角関数例

$\sin (2 x) + \cos (2 x) = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (2 x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

ステップ 2

方程式の左辺を簡約します。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) + \cos (2 x) - 1 = 0$

ステップ 2.1.2

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2

$2 \sin (x) \cos (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x) - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$2 \sin (x) \cos (x) + 0 - 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$2 \sin (x) \cos (x)$ と $0$ をたし算します。

$2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x) = 0$

ステップ 3

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) - 2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 3.1

$2 \sin (x)$ を $- 2 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) = 0$

ステップ 3.2

$2 \sin (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x))$ で因数分解します。

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

ステップ 4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sin (x) = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 5

$\sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) = 0$

ステップ 5.2

$x$ について $\sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (0)$

ステップ 5.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$\arcsin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.3

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - 0$

ステップ 5.2.4

$π$ から $0$ を引きます。

$x = π$

ステップ 5.2.5

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.6

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 6

$\cos (x) - \sin (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 6.1

$\cos (x) - \sin (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

ステップ 6.2

$x$ について $\cos (x) - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 6.2.1

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.2

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.2.2

式を書き換えます。

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.3

分数を分解します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.6

分数を分解します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 6.2.7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 6.2.8

$0$ を $1$ で割ります。

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

ステップ 6.2.9

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$1 - \tan (x) = 0$

ステップ 6.2.10

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \tan (x) = - 1$

ステップ 6.2.11

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 6.2.11.1

$- \tan (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.11.2

左辺を簡約します。

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ステップ 6.2.11.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.11.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 6.2.11.3

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.11.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = 1$

ステップ 6.2.12

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (1)$

ステップ 6.2.13

右辺を簡約します。

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ステップ 6.2.13.1

$\arctan (1)$ の厳密値は $\frac{π}{4}$ です。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.14

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.15

$π + \frac{π}{4}$ を簡約します。

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ステップ 6.2.15.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.15.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.15.2.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

ステップ 6.2.15.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

ステップ 6.2.15.3

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.15.3.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

ステップ 6.2.15.3.2

$4 π$ と $π$ をたし算します。

$x = \frac{5 π}{4}$

ステップ 6.2.16

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.2.16.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 6.2.16.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 6.2.16.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 6.2.16.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 6.2.17

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 7

最終解は $2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8

答えをまとめます。

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ステップ 8.1

$π + 2 π n$ と $π n$ を $2 π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.2

$\frac{5 π}{4} + π n$ と $\frac{π}{4} + π n$ を $\frac{π}{4} + π n$ にまとめます。

$x = π n, \frac{π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

三角関数 例

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