三角関数例

$\cot (22.5)$

ステップ 1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $22.5$ を書き直します。

$\cot (\frac{45}{2})$

ステップ 2

逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\tan (\frac{45}{2})}$

ステップ 3

正切半角の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

ステップ 4

余接が第一象限で正なので、 $\pm$ を $+$ に変えます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$

ステップ 5

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (45)}{1 + \cos (45)}}}$ を簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

ステップ 5.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

ステップ 5.1.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (45)}}}$

ステップ 5.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$\cos (45)$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 5.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 5.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

ステップ 5.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}$

ステップ 5.3.2.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}$

ステップ 5.3.3

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}$

ステップ 5.3.4

$\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ に $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}$

ステップ 5.3.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

ステップ 5.3.6

簡約します。

$\frac{1}{\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.7

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.8.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.8.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.9

$\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ と $\sqrt{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.10

公分母を求めます。

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ステップ 5.3.10.1

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.10.2

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.10.3

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.10.4

$- \sqrt{2}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.10.5

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.10.6

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.12.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.5

$- - \sqrt{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.12.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.5.2

$\sqrt{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.6

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.7

根の積の法則を使ってまとめます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.8

各項を簡約します。

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ステップ 5.3.12.8.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.8.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

ステップ 5.3.12.8.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

ステップ 5.3.13

$4$ と $2$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.14

$- 2 \sqrt{2}$ から $2 \sqrt{2}$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.15

$6 - 4 \sqrt{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.15.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.3.15.2

$2$ を $- 4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.3.15.3

$2$ を $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.3.15.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.15.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

ステップ 5.3.15.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

ステップ 5.3.15.4.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}}$

ステップ 5.3.15.4.4

$3 - 2 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{1}{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}$

10進法形式：

$2.41421356 \dots$

三角関数 例

三角関数例