三角関数例

$\cot (\frac{5 π}{8})$

ステップ 1

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として $\frac{5 π}{8}$ を書き直します。

$\cot (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})$

ステップ 2

逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2})}$

ステップ 3

正切半角の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 4

Change the $\pm$ to $-$ because cotangent is negative in the second quadrant.

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5

$\frac{1}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$1$ と $- 1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.1.1

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.2.3

$- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.2.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.2.3.2

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.2.5

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}}$

ステップ 5.3

分母を簡約します。

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ステップ 5.3.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}$

ステップ 5.3.2

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 5.3.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 5.3.4

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

ステップ 5.4

分母を簡約します。

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ステップ 5.4.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

ステップ 5.4.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

ステップ 5.4.2.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

ステップ 5.4.3

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

ステップ 5.4.4

$\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ に $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

ステップ 5.4.5

FOIL法を使って分母を展開します。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

ステップ 5.4.6

簡約します。

$- \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.7

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.8.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.8.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.9

$\sqrt{2}$ と $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.10

公分母を求めます。

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ステップ 5.4.10.1

$2$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.10.2

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.10.3

$\frac{2}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.10.4

$\sqrt{2}$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.10.5

$\frac{\sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.10.6

$\frac{\sqrt{2}}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.11

公分母の分子をまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.12

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.12.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.12.2

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.12.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.12.4

$2$ を $\sqrt{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.12.5

根の積の法則を使ってまとめます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

ステップ 5.4.12.6

各項を簡約します。

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ステップ 5.4.12.6.1

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

ステップ 5.4.12.6.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

ステップ 5.4.12.6.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

ステップ 5.4.13

$4$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.14

$2 \sqrt{2}$ と $2 \sqrt{2}$ をたし算します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.15

$6 + 4 \sqrt{2}$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.15.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

ステップ 5.4.15.2

$2$ を $4 \sqrt{2}$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.15.3

$2$ を $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

ステップ 5.4.15.4

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.15.4.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

ステップ 5.4.15.4.2

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

ステップ 5.4.15.4.3

式を書き換えます。

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

ステップ 5.4.15.4.4

$3 + 2 \sqrt{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

10進法形式：

$- 0.41421356 \dots$

三角関数 例

三角関数例