三角関数例

$\sin (\arcsin (x) + \arccos (y))$

ステップ 1

角の和の公式を当てはめます。

$\sin (\arcsin (x)) \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

関数の正弦と逆正弦は逆です。

$x \cos (\arccos (y)) + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

ステップ 2.2

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$x y + \cos (\arcsin (x)) \sin (\arccos (y))$

ステップ 2.3

交点 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ 、 $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arcsin (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(\sqrt{1^{2} - x^{2}}, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arcsin (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$x y + \sqrt{1 - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

ステップ 2.4

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x y + \sqrt{1^{2} - x^{2}} \sin (\arccos (y))$

ステップ 2.5

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sin (\arccos (y))$

ステップ 2.6

交点 $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ 、 $(y, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (y)$ は正のx軸と、原点から始まって $(y, \sqrt{1^{2} - y^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (y))$ は $\sqrt{1 - y^{2}}$ です。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1 - y^{2}}$

ステップ 2.7

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

ステップ 2.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = y$ です。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

ステップ 2.9

根の積の法則を使ってまとめます。

$x y + \sqrt{(1 + x) (1 - x) (1 + y) (1 - y)}$

三角関数 例

三角関数例