三角関数例

$\sin (2 \arctan (x))$

ステップ 1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (\arctan (x)) \cos (\arctan (x))$

ステップ 2

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arctan (x))$ は $\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

$2 \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 3

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$2 (\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}) \cos (\arctan (x))$

ステップ 4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ に $\frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ をかけます。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.2

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} \sqrt{1 + x^{2}}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.3

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $1$ 乗します。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + x^{2}}}^{1}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{1 + 1}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.6

${\sqrt{1 + x^{2}}}^{2}$ を $1 + x^{2}$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{1 + x^{2}}$ を ${(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{({(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.6.4.2

式を書き換えます。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{{(1 + x^{2})}^{1}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 4.6.5

簡約します。

$2 \frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 5

$2$ と $\frac{x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2 (x \sqrt{1 + x^{2}})}{1 + x^{2}} \cos (\arctan (x))$

ステップ 6

交点 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arctan (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(1, x)$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\cos (\arctan (x))$ は $\frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ です。

$\frac{2 x \sqrt{1 + x^{2}}}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 7

$\sqrt{1 + x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.1

$\sqrt{1 + x^{2}}$ を $2 x \sqrt{1 + x^{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 7.2

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 + x^{2}} (2 x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

ステップ 7.3

式を書き換えます。

$\frac{2 x}{1 + x^{2}}$

三角関数 例

三角関数例