三角関数例

$\cos (2 \arccos (x))$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ に変換します。

$\cos^{2} (\arccos (x)) - \sin^{2} (\arccos (x))$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

関数の余弦と逆余弦は逆です。

$x^{2} - \sin^{2} (\arccos (x))$

ステップ 2.2

交点 $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ 、 $(x, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (x)$ は正のx軸と、原点から始まって $(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (x))$ は $\sqrt{1 - x^{2}}$ です。

$x^{2} - {\sqrt{1 - x^{2}}}^{2}$

ステップ 2.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$x^{2} - {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

ステップ 2.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$x^{2} - {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

ステップ 2.5

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ を $(1 + x) (1 - x)$ に書き換えます。

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ステップ 2.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ を ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x^{2} - {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 2.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.4.1

共通因数を約分します。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 2.5.4.2

式を書き換えます。

$x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{1}$

ステップ 2.5.5

簡約します。

$x^{2} - ((1 + x) (1 - x))$

ステップ 2.6

分配法則（FOIL法）を使って $(1 + x) (1 - x)$ を展開します。

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ステップ 2.6.1

分配則を当てはめます。

$x^{2} - (1 (1 - x) + x (1 - x))$

ステップ 2.6.2

分配則を当てはめます。

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))$

ステップ 2.6.3

分配則を当てはめます。

$x^{2} - (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

ステップ 2.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.1.1

$1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))$

ステップ 2.7.1.2

$- x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - (1 - x + x \cdot 1 + x (- x))$

ステップ 2.7.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - (1 - x + x + x (- x))$

ステップ 2.7.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$x^{2} - (1 - x + x - x \cdot x)$

ステップ 2.7.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.7.1.5.1

$x$ を移動させます。

$x^{2} - (1 - x + x - (x \cdot x))$

ステップ 2.7.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$x^{2} - (1 - x + x - x^{2})$

ステップ 2.7.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$x^{2} - (1 + 0 - x^{2})$

ステップ 2.7.3

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} - (1 - x^{2})$

ステップ 2.8

分配則を当てはめます。

$x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}$

ステップ 2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 1 - - x^{2}$

ステップ 2.10

$- - x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.10.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x^{2} - 1 + 1 x^{2}$

ステップ 2.10.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} - 1 + x^{2}$

ステップ 3

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$2 x^{2} - 1$

三角関数 例

三角関数例