三角関数例

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

ステップ 1

左辺から始めます。

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x)$

ステップ 2

各項を簡約します。

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ステップ 2.1

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \csc (x)$

ステップ 2.2

正弦と余弦に関して $\csc (x)$ を書き換えます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

ステップ 2.3

$2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ を掛けます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{1}{\sin (x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

ステップ 2.3.2

$\frac{2}{\sin (x)}$ と $\cos (x)$ をまとめます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3

分数をたし算します。

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ステップ 3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 3.2

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos (x) \sin (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.1

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ に $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 3.3.2

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

ステップ 3.3.3

$\sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 3.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 4

各項を簡約します。

$\frac{\sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 5

ピタゴラスの定理を逆に当てはめます。

$\frac{1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 6

$- {\cos (x)}^{2}$ と $2 {\cos (x)}^{2}$ をたし算します。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 7

ここで、方程式の右辺を考えます。

$\sec (x) \csc (x) + \cot (x)$

ステップ 8

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 8.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \csc (x) + \cot (x)$

ステップ 8.2

$\csc (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)$

ステップ 8.3

商の恒等式を利用して $\cot (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 9

$\frac{1}{\cos (x)}$ に $\frac{1}{\sin (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

ステップ 10

分数をたし算します。

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ステップ 10.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ を掛けます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

ステップ 10.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $\cos (x) \sin (x)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 10.2.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ に $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

ステップ 10.2.2

$\sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 10.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 11

$\cos (x) \cos (x)$ を掛けます。

$\frac{1 + \cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

ステップ 12

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\tan (x) + 2 \cos (x) \csc (x) = \sec (x) \csc (x) + \cot (x)$ は公式です

三角関数 例

三角関数例