三角関数例

$\sec (x) + \tan (x) = \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

ステップ 1

右辺から始めます。

$\frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$

ステップ 2

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 2.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)}$

ステップ 2.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{\frac{1 - \sin (x)}{\cos (x)}}$

ステップ 3.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$1 \frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 3.3

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$

ステップ 4

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ に $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ をかけます。

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

ステップ 5

まとめる。

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 6.2

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

ステップ 7

分母を簡約します。

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ステップ 7.1

分配法則（FOIL法）を使って $(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))$ を展開します。

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ステップ 7.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 (1 + \sin (x)) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

ステップ 7.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) (1 + \sin (x))}$

ステップ 7.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 \cdot 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) \sin (x)}$

ステップ 7.2

簡約し、同類項をまとめます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

ステップ 8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\cos (x) + \cos (x) \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\cos (x)$ を $\cos (x) + \cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

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ステップ 9.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 9.1.2

$\cos (x)$ を $\cos (x) \sin (x)$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 9.1.3

$\cos (x)$ を $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (\sin (x))$ で因数分解します。

$\frac{\cos (x) (1 + \sin (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

ステップ 9.2

共通因数を約分します。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 10

ここで、方程式の左辺を考えます。

$\sec (x) + \tan (x)$

ステップ 11

正弦と余弦に変換します。

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ステップ 11.1

$\sec (x)$ に逆数の公式を当てはめます。

$\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)$

ステップ 11.2

商の恒等式を利用して $\tan (x)$ を正弦と余弦で書きます。

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

ステップ 13

両辺が等しいことが示されているので、この方程式は恒等式です。

$\sec (x) + \tan (x) = \frac{1}{\sec (x) - \tan (x)}$ は公式です

三角関数 例

三角関数例